Исследование функции на монотонность (возрастание и убывание функции)

Теорема. Для того чтобы, дифференцируемая в интервале (a, b), функция y = f (x) возрастала (убывала) на интервале (a, b) необходимо и достаточно, чтобы ее производная

f ′(x) ≥ 0 (f ′(x) ≤ 0) для∀ x ∈ (a,b).

Рис. 1 График возрастающей функции

f ′(x) = k _кас = tgα> 0, т. к. α – острый угол.

Рис. 2 График убывающей функции

tgα< 0, т. к. α – тупой угол.

Экстремум функции (исследование функции на экстремум)

Определение. Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции y = f (x), если существует δ − окрестность точки x₀, такая, что для всех x ≠ x₀ из этой окрестности выполняется неравенство f (x)< f (x₀),

(f (x)< f (x₀)).

Определение. Значение функции в точках максимума (минимума) называют экстремумами функции (extmax, extmin).

Рис. 3

Рис. 4

Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция у = f(х) в точке имеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, то есть

Теорема (достаточное условие экстремума). Если функция у = f (х) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки (кроме, быть может, самой точки ) и при переходе аргумента x через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то ‒ точка максимума; если меняет знак с минуса на плюс, то ‒ точка минимума.

Определение. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции.

Пример. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Решение:

1) D (y) = R, то есть .

Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервалы: (˗∞; 0), (0; 1) и (1; +∞). Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы: