Общая схема исследования функций и построения графиков

Алгоритм исследования функции у = f (х):

1. Найти область определения функции D (y).

2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат (при x = 0 и при y = 0).

3. Исследовать на четность и нечетность функции(y (‒x) = y (x) ‒ четность; y (‒x) = ‒y (x) ‒ нечетность).

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти интервалы монотонности функции.

6. Найти экстремумы функции.

7. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции.

8. На основании проведенных исследований построить график функции.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1) D (y) =

x = 4 ‒ точка разрыва.

2) При x = 0,

(0; ‒ 5) ‒ точка пересечения с oy.

При y = 0,

3) y (‒ x) =  функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

4) Исследуем на асимптоты.

а) вертикальные

б) горизонтальные

в) найдем наклонные асимптоты где

 ‒ уравнение наклонной асимптоты

5) В данном уравнении не требуется найти интервалы монотонности функции.

6)

Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервале (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10)и (10; +∞). Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы:

x	(˗∞; ˗2)	˗2	(˗2; 4)	4	(4; 10)	10	(10; +∞)
	+	0	˗	0	˗	0	+
y		max		нет экстр.		min

Из таблицы видно, что точка х = ‒2‒точка максимума, в точке х = 4‒нет экстремума, х = 10 ‒точка минимума.

Подставим значение (‒ 3) в уравнение:

 9 + 24 ‒ 20 > 0

0 ‒ 20 < 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Максимум этой функции равен

(‒ 2; ‒ 4) ‒ экстремум максимальный.

Минимум этой функции равен

(10; 20) ‒ экстремум минимальный.

7) исследуем на выпуклость и точку перегиба графика функции

8)

x	0	4
y	4	8

 

 

 

 

Вопросы для самоконтроля:

Что такое возрастание и убывание функции?

Экстремум функции? Что значит исследовать функцию на экстремум?

Что такое наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?

Что значит исследование функции на выпуклость и точку перегиба?

Алгоритм исследования на выпуклость и точку перегиба?

Что такое асимптоты графика функции? Что значит исследовать функцию на асимптоты?

В чем заключается общая схема исследования функций и построения графиков?