2020-05-21
166
Рассмотренные методы могут быть использованы также для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.
Покажем это для случая системы двух уравнений первого порядка:
Явный метод Эйлера:
Модифицированный метод Эйлера:
Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:
К решению систем уравнений ОДУ сводятся также задачи Коши для уравнений высших порядков. Например, рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка
Введем вторую неизвестную функцию 
. Тогда задача Коши заменяется следующей:
Т.е. в терминах предыдущей задачи: 
.
Пример. Найти решение задачи Коши:
на отрезке [0,1].
Точное решение: 
Действительно:
Решим задачу явным методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера и Рунге – Кутта с шагом h=0.2.
Введем функцию 
.
Тогда получим следующую задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка:
Явный метод Эйлера:
Модифицированный метод Эйлера:
Метод Рунге – Кутта:
Схема Эйлера:
| X | y | z | y теор | z теор | y-y теор
| ||
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | ||
| 0.2 | 1 | -0.2 | 0.983685 | -0.14622 | 0.016315 | ||
| 0.4 | 0.96 | -0.28 | 0.947216 | -0.20658 | 0.012784 | ||
| 0.6 | 0.904 | -0.28 | 0.905009 | -0.20739 | 0.001009 | ||
| 0.8 | 0.848 | -0.2288 | 0.866913 | -0.16826 | 0.018913 | ||
| 1 | 0.80224 | -0.14688 | 0.839397 | -0.10364 | 0.037157 |
Модифицированный метод Эйлера:
| X | ycv | zcv | y | z | y теор | z теор | y-y теор |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0.2 | 1 | -0.2 | 1 | -0.18 | 0.983685 | -0.14622 | 0.016315 |
| 0.4 | 0.96 | -0.28 | 0.962 | -0.244 | 0.947216 | -0.20658 | 0.014784 |
| 0.6 | 0.904 | -0.28 | 0.9096 | -0.2314 | 0.905009 | -0.20739 | 0.004591 |
| 0.8 | 0.848 | -0.2288 | 0.85846 | -0.17048 | 0.866913 | -0.16826 | 0.008453 |
| 1 | 0.80224 | -0.14688 | 0.818532 | -0.08127 | 0.839397 | -0.10364 | 0.020865 |
Схема Рунге - Кутта:
| x | Y | z | k1 | l1 | k2 | l2 | k3 | l3 | k4 | l4 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | -1 | -0.1 | -0.7 | -0.07 | -0.75 | -0.15 | -0.486 |
| 0.2 | 0.983667 | -0.1462 | -0.1462 | -0.49127 | -0.19533 | -0.27839 | -0.17404 | -0.31606 | -0.20941 | -0.13004 |
| 0.4 | 0.947189 | -0.20654 | -0.20654 | -0.13411 | -0.21995 | 0.013367 | -0.2052 | -0.01479 | -0.2095 | 0.112847 |
| 0.6 | 0.904977 | -0.20734 | -0.20734 | 0.10971 | -0.19637 | 0.208502 | -0.18649 | 0.187647 | -0.16981 | 0.27195 |
| 0.8 | 0.866881 | -0.16821 | -0.16821 | 0.269542 | -0.14126 | 0.332455 | -0.13497 | 0.317177 | -0.10478 | 0.369665 |
| 1 | 0.839366 | -0.1036 | -0.1036 | 0.367825 | -0.06681 | 0.40462 | -0.06313 | 0.393583 | -0.02488 | 0.423019 |
Max(y-y теор)=4*10-5
