Нормальное распределение

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется нормальным, если ее дифференциальная функция f (x) определяется формулой:         

где а совпадает с математическим ожиданием величины Х: а = М(Х), параметр a совпадает со средним квадратическим отклонением величины Х: σ = σ (Х).

График функции нормального распределения, как видно из рисунка, имеет вид куполообразной кривой, называемой Гауссовой, точка максимума имеет координаты (а; ). Значит, эта ордината убывает с возрастанием значения s (кривая "сжимается" к оси Ох) и возрастает с убыванием значения s (кривая "растягивается" в положительном направлении оси Оу). Изменение значений параметра а (при неизменном значении s) не влияет на форму кривой, а лишь перемещает кривую вдоль оси Ох.

 

Нормальное распределение с параметрами а = 0 и σ = 1 называется нормированным. Дифференциальная функция в случае такого распределения будет:

Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (a; b)

Пример 1.Бросаются две правильные однородные монеты. Сколько из них выпадает гербом кверху?

При подбрасывании двух монет пространство элементарных событий имеет вид:

U = {ЦЦ,ЦГ,ГЦ,ГГ}, где Ц- «цифра», Г- «герб».

Первый символ показывает, как выпала первая монета, а второй - вторая монета. Например, ЦГ означает, что первая монета выпала цифрой кверху, а вторая - гербом. Так как монеты правильные и однородные, то можно считать, что все элементарные события пространства U равновероятны, и тогда вероятность каждого из них равна %. Обозначим через X число монет, выпавших гербом кверху, составим таблицу:

 

U	ЦЦ	ЦГ	ГЦ	ГГ
X	0	1	1	2
р

 

Так как элементарным событиям ЦГ и ГЦ соответствует одно и то же значение величины Х, равное , то можно полагать, что это значение величина X принимает с 4х вероятностью. Таким образом, значение величины X - число монет, выпавших гербом кверху и соответствующие им вероятности можно записать в виде таблицы.

 

X	0	1	2
р

 

Итак, каждое значение величины X есть число, определяемое исходом опыта и зависящее от случая.

 

Определение 1.Случайной называется величина, которая в результате опыта принимает с определенной вероятностью, то или иное значение, зависящее от исхода опыта. Случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита: X, Y, Z и т.д., а их значения - соответствующими буквами: х, у, z и т.д.,

 

Определение 2.Случайная величина называется дискретной, если множество её значений конечно или счётно, т.е. множество её значений представляет собой конечную последовательность х_],х₂,х₃,...,х_п. Вероятность того, что случайная величина X примет значение х, обозначают Р{х) = Р(Х = х)

 

Определение 3.Соответствие между возможными значениями x_vx₂,...,x_n случайной величины X и их вероятностями p_vp₂,—,P_n называется законом распределения случайной величины X.

Закон распределения случайной величины может быть представлен в виде таблицы:

 

X	х	х2	...	х	...	Х
р	Р1	P2	...	Pi	...	Рп

 

События X = x_v X = х₂,...,Х = х_п образуют полную систему попарно несовместных событий, поэтому сумма их вероятностей равна единице р₁ + р₂ +... + р_п = 1.

 

Пример 2.Закон распределения вероятностей случайной дискретной величины Х- числа очков, выпадающих при бросании правильной игральной кости, имеет вид, заданный таблицей:

 

X	1	2	3	4	5	6
р	1 6	1 6	1 6	1 6	1 6	1 6

 

2. Биноминальное распределение случайной дискретной величины.

Пусть случайная величина Х- число появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления событий А равно р, а непоявления - q = 1-р. Очевидно, что Сможет принимать значения 0,1,2,..., п, вероятности которых определяются по формуле Бернулли:

Р_п(т) = Р(Х = т) = С *р^т -q^{n m}, m = 0,1,2,..., и. (1)

Определение. Закон распределения случайной величины X, имеющий вид:

 

X	0	1	2		т		п
р	C	С	C	...	С		C

называется биноминальным распределением.

 

Пример 3.Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырёх выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.

Случайная величина Х- число попаданий в цель при четырёх выстрелах - может принимать значения 0,1,2,3,4, а соответствующие им вероятности находим по формуле Бернулли (2):

P(Х = 0) = С₄° • 0,9° • О,1⁴ = 0,0001;

Р(Х = 1) = С •0,9 • 0,1³ = 0,0036;

Р(Х = 2) = С •0,9² • О,1² = 0,0486;

Р(Х = 3) = С •0,9³ • О,1 = 0,2916;

P(Х = 4) = С₄⁴ • 0,9⁴ • 0,1° = 0,6561;

Итак, искомый закон распределения имеет вид.

 

X	0	1	2	3	4
р	0,0001	0,0036	0,486	0,2916	0,6561

Пример 4. В ОТК измерялась длина в мм у 50 деталей, изготовленных на одном станке – автомате. В результате измерений получены следующие данные:

83	85	81	82	84	82	79	84	80	81
82	82	80	82	80	82	83	84	79	83
79	82	83	85	82	82	81	80	82	82
83	80	82	85	81	83	81	81	83	82
81	85	83	79	81	85	81	84	81	82

Требуется произвести первичную статистическую обработку данных:

1) Составить статистический ряд распределения частот и относительных частот длины деталей (случайная величина Х)

2) построить полигоны частот и относительных частот

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график

РЕШЕНИЕ:

1) Для составления статистических рядов исходные данные располагаются в порядке возрастания, затем подсчитываются частоты n_i и относительные n_i/n появление каждого из наблюдаемых значений (n=50).

 

Наблюдаемые значения	79	80	81	82	83	84	85
Подсчет частоты	4	5	10	14	8	4	5
Относительные частоты	0,08	0,1	0,2	0,28	0,16	0,08	0,1

2) Изобразим полигон частот и относительных частот

 

3) Эмпирическая функция распределения F^*(x) определяется как отношение накопленных частот n_*, т.е числа выборочных значений меньших х, объему выборки n.

 

При х ≤ 79,	nx = 0,	F*(x) = 0/50 = 0
При 79 < x ≤ 80,	nx = 4,	F*(x) = 4/50 = 0,08
При 80 < x ≤ 81,	nx = 4+5=9,	F*(x) = 9/50 = 0,18

 

Аналогично вычисляются значения F^*(x) на других интервалах.

 

График функции F^*(x):

 

Лекция 12. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратное отклонение случайной величины