Определённый интеграл

Задача о площади криволинейной трапеции

Будем рассматривать непрерывную в каждой точке промежутка функцию такую, что . Поставим задачу: вычислить площадь криволинейной трапеции ABCD (см. рис. 1). Для этой цели разобьем произвольно промежуток на n частей точками .

На каждом интервале (x_k _-1, x_k) выберем произвольную точку x _k и рассмотрим прямоугольники, образуемые интервалами (x_k _-1, x_k) по оси О х и (0, f (x _k)) по оси О у. Фигуру, образованную совокупностью таких прямоугольников, будем называть ступенчатой фигурой.

Обозначим длину самого большого из промежутков (x_k _-1, x_k) и будем называть её мелкостью разбиения отрезка . Очевидно, что чем меньше , тем больше площадь ступенчатой фигуры близка к площади криволинейной трапеции ABCD. А именно:

Отметим, что суммы, образующиеся в соотношении (1), называются интегральными суммами.

Пусть мелкость разбиения . Тогда можно показать, что

Определённый интеграл

Определение 1. Пусть – произвольная, непрерывная в каждой точке промежутка функция. Тогда называется определённым интегралом от функции на промежутке .

верхний предел интегрирования нижний предел интегрирования

подынтегральная функция подынтегральное выражение

Для вычисления определенного интеграла от функции служит формула Ньютона-Лейбница:

где – любая из первообразных функции .

Таким образом, для того чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) на промежутке , необходимо найти любую первообразную функцию и вычислить разность её значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Некоторые свойства определённого интеграла

Заметим, что при замене переменной в определённом интеграле необходимо изменить пределы интегрирования в соответствии с тем, как производится замена. При этом переход к старой переменной не требуется.

Пример

Вычислить определенные интегралыа) ; б)

Решение:

а) По формуле Ньютона-Лейбница получаем:

б) Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки 3 x – 2 = t Þ 3 dx = dt Þ . Находим новые пределы интегрирования. Подставляя в соотношение 3 x – 2 = t значения и , соответственно, получим и .