Применение определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Пусть на отрезке задана непрерывная положительная функция (см. рис. 3). Тогда площадь фигуры, ограниченной непрерывной функцией , прямыми , и отрезком оси , вычисляется по формуле .

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми и , причем и , -абсциссы точек пересечения данных кривых (см. рис. 4), вычисляется по формуле

Пример

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой

Решение:

1. Построим на плоскости заданные линии:

А) Для построения прямой , зададим значения для переменной х и найдем соответствующие ей значения переменной y

	0	1
	–1	0

Следовательно, прямая проходит через точки (0; –1) и (1; 0).

Б) Для построения параболы найдем точки

пересечения ее с осями координат и вершину параболы:

Пересечение с осью , значит , то есть . Решая данное уравнение, получаем и .

Пересечение с осью , значит , то есть , получили точку (0; 1), которая совпала в нашем случае с вершиной параболы.

2) Площадь фигуры, ограниченной сверху и снизу непрерывными линиями и , пресекающимися в точках с абсциссами и , определяется по формуле

Для нахождения точек пересечения линий решаем систему уравнений и параболой

Приравняем правые части данных уравнений . Перенесем слагаемые из правой части в левую и приведем подобные, получим . Умножим данное уравнение на (–1), получим . Решая данное уравнение, найдем корни и .

Площадь искомой фигуры равна

(кв.ед.).

Вычисление объемов тел вращения

Пусть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция . Тогда объем тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , , вычисляется по формуле

Пусть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция . Тогда объем тела, образованного при вращении вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , , вычисляется по формуле