II этап. Формирование навыков применения конкретных видов преобразовании

 Понятия тождества и тождественного преобразования явно вводятся в курсе алгебры 7 класса. Так, в учебнике Ю. Н. Макарычсва «Алгебра. 7 класс»  вначале вводится понятие тождественно равных выражений: «Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными», затем понятие тождества: «Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством».

Приводятся примеры:

1) 3(.т +у) и Здг + Зу - тождественно равные выражения;

2) 2х + у и 2ху не являются тождественно равными выражениями;

3) а2 - Ь2 = (а - Ь)(а + Ь) - тождество;

4) х2 - 4х + 4 = (х - 2у - тождество.

Тождествами считают и верные числовые равенства: а + b = b + а;

(а + b) +с = а + (b + с); ab = ba (ab) с = а (Ьс); а + 0 = а а + (-а) = 0; а - b = а + (-6); а • I + а а • {-b) = -ab; (-а) • (-b) = ab и т. д.

В учебнике А. Г. Мордковича «Алгебра. 7 класс» [10] приводится сразу и уточненное понятие тождества: «Тождество - это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных».

При введении понятия тождественного преобразования следует прежде всего показать целесообразность изучения тождественных преобразований. Для этого можно рассмотреть различные упражнения на нахождение значения выражений. Например, найти значение выражения 37,1* + 37,1^ при х = 0,98, у = 0,02. Используя распределительное свойство умножения, данное выражение можно заменить выражением 37,1 (д: + у), тождественно равным ему. Ещё более впечатляет решение следующего упражнения: найти значение выражения

(а + Ь)2-(а-Ь)2 а) а = 3, Ь = 2; б) а = 121, * = 38; в) а = 2,52, b = 1-ab

После проведенных преобразований оказывается, что множество значений этого выражения состоит из одного числа 4.

В учебнике Ю. Н. Макарычсва «Алгебра. 7 класс»  введение понятия тождественного преобразования мотивируется примером: «Чтобы найти значение выражения лгу - xz при х = 2,3; у = 0,8; z = 0,2, надо выполнить 3 действия: xy-xz = 2,3 • 0,8-2,3 • 0,2= 1,84-0,46= 1,38.

Этот результат можно получить выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением х (у - z), тождественно равным выражению xy — xz: x(y-z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 • 0,6 = 1,38.

Мы упростили вычисления, заменив выражение ху - xz тождественно равным выражением х (у - z). Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения».

Освоение различных типов преобразований на этом этапе начинается с введения приведенных формул умножения. Затем преобразования, связанные с операцией возведения в степень, с различными классами элементарных функций - индикативные, градусные, логарифмические, тригонометрические. Каждый из этих типов преобразований проходит стадию изучения, на которой внимание сосредоточено на усвоении их характерных особенностей.

По мере накопления материала становится возможным выделить и на этой основе ввести понятия идентичных и эквивалентных преобразований.

Следует отметить, что понятие идентичных преобразований дается в школьном курсе алгебры не в полном обобщении, а только в применении к выражениям. Преобразования делятся на два класса: идентичные преобразования - это преобразования выражений, а эквивалентные преобразования - преобразования формул. В тех случаях, когда необходимо упростить одну часть формулы, в формуле выделяется выражение, которое служит аргументом для применения идентичного преобразования. Например, уравнения 5x - х = 2 и 2x = 2 считаются не просто равными, а равными.

В учебниках алгебры III. А. Алимова и др. понятие тождества явно не вводится в 7-8-х классах и только в 9 классе в теме «Тригонометрические тождества» при решении задачи 1: «Доказать, что при а Фпк,к eZ, справедливо равенство 1 + ctg2 а = ——» вводится это понятие. Здесь учащимся поясняется, sin* что указанное равенство «справедливо для всех допустимых значений а, то есть таких, при которых его левая и правая части имеют смысл. Такие равенства называют тождествами, а задачи на доказательства таких равенств называют задачами на доказательство тождеств».