2020-06-12
238
Основная цель этого этапа состоит в формировании гибкого и мощного аппарата, пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий. Развертывание второго этапа изучения преобразований происходит на протяжении всего курса алгебры основной школы. Переход к третьему этапу осуществляется при итоговом повторении курса в ходе осмысления уже известного материала, усвоенного по частям, по отдельным типам преобразований.
В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований, в основном уже сформированная, продолжает постепенно совершенствоваться. К ней также добавляются некоторые новые виды преобразований (например, относящиеся к тригонометрическим и логарифмическим функциям), однако они только обогащают её, расширяют её возможности, но не меняют её структуру.
Методика изучения этих новых преобразований практически не отличается от применяемой в курсе алгебры.
Необходимо отмстить один тип преобразований, специфический для курса алгебры и начал анализа. Это преобразования выражений, содержащих предельные переходы, и преобразования, основанные на правилах дифференцирования и интегрирования. Основное отличие этих «аналитических» преобразований от «алгебраических» преобразований состоит в характере множества, которое пробегают переменные в тождествах. В алгебраических тождествах переменные пробегают числовые области, а в аналитических этими множествами являются определенные множества функций. Например, правило дифференцирования суммы: (f + g)’ = f+ g' здесь/и g - переменные, пробегающие множество дифференцируемых функций с общей областью определения. Внешне эти преобразования сходны с преобразованиями алгебраического типа, поэтому иногда говорят «алгебра пределов», «алгебра дифференцирования».Целостная система преобразований в курсе алгебры и начал анализа, продолжает постепенно совершенствоваться, хотя в основных чертах она уже сформирована. Добавляются новые виды преобразований (относящиеся к тригонометрическим функциям, например), которые обогащают ее структуру. Необходимо упомянуть об одном типе преобразований, специфическом для курса алгебры и начал анализа. Это преобразования выражений, которые основаны на правилах дифференцирования и интегрирования; выражений, которые содержат предельные переходы, и преобразования [1,c.114].
|
|
|
Рассмотрим основное отличие «алгебраических преобразований» преобразований от «аналитических». Оно a состоит в характере множества, которое пробегают переменные в тождествах. В алгебраических тождествах переменные пробегают числовые области, в аналитических этими множествами являются определенные множества функций. Наиболее отчетливо это видно в простейшем примере формулы, выражающей правило дифференцирования суммы:
|
|
|
(𝑓 + 𝑔)´҆ = 𝑓´҆+ 𝑔´҆; где 𝑓 и 𝑔 – переменные.
Пробегающие множество дифференцируемых функций с общей областью определения. Несмотря на то. Что отмеченное различие не фиксируется в обучении в курсе алгебры и начала анализа, практика показывает, что рассматриваемые преобразования усваиваются достаточно уверенно; этому способствует их внешнее сходство с преобразованиями алгебраического типа. Тождества, a изучаемые в школьном курсе алгебры можно разделить на два класса. Первый образован тождествами сокращенного умножения, которые справедливы для любого коммутативного кольца, и тождества 𝑎𝑏 𝑎𝑐 = 𝑏 𝑐, 𝑎 ≠ 0, справедливо в любом поле. Второй класс состоит из тождеств, связывающих основные элементарные функции и арифметические операции, а так же композиции элементарных функций. Большинство тождеств второго класса также имеет общую математическую основу, состоящую в том, что степенная, показательная и логарифмическая функции являются изоморфизмами различных числовых групп. Например, имеет место утверждение: существует единственное непрерывное изоморфное отображение f аддитивной группы действительных чисел в мультипликативную группу положительных действительных чисел, при котором 1 отображается в заданное число 𝑎 >0 𝑎 ≠ 0; это отображение задается показательной функцией с основанием 𝑎: 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥. Аналогичные утверждения имеются и для a степенной и логарифмической функций. С их помощью могут быть строго доказаны все изучаемые в курсе школьной математики тождества для рассматриваемых функций[12,c.227].
При изучении тождественных преобразований учащиеся получат следующие знания и умения.
Общеобразовательное и развивающее
1. Учащиеся знакомятся:
· с новыми понятиями (тождество, тождественные преобразования, тождественно равные выражения, одночлен, многочлен, рациональная дробь и др.)
· с тождествами: () 2 2 2 a + b = a + 2ab + b; () 2 2 2 a - b = a - 2ab + b;
· с задачами нового содержания: «Прочитать выражение», «Доказать тождество», «Упростить выражение», «Заменить выражение тождественно равным» и др. Это дает возможность расширить и углубить пользование алгебраической терминологией и символикой.
2. Изучение тождественных преобразований дает возможность постоянно повторять действия с рациональными (в дальнейшем – и с иррациональными) числами, что способствует отработке вычислительных навыков, в том числе и техники устных вычислений.
3. Учащиеся овладевают техникой выполнения тождественных преобразований, т.е. учатся свободно выполнять и обосновывать преобразования.
4. Задания содержат несложные доказательства, что способствует развитию дедуктивного мышления.
5. Изучение тождественных преобразований предоставляет большие возможности для формирования таких качеств математического мышления, как самостоятельность, гибкость, глубина, критичность, рациональность и т. п.
6. Культура выполнения тождественных преобразований характеризуется следующими признаками:
а) прочное знание свойств операций над числами, выражениями;
б) умение правильно обосновывать преобразование;
в) умение следить за изменением области определения в цепочке преобразований;
г) быстрота и безошибочность тождественных преобразований.
Пример. Найти значение выражения 2 (a - 5) при a = 2. Ученики дали решения: 1) 2 (a - 5) = a - 5 = 2 – 5 = – 3, 2) 2 (a - 5) = 2 (2 - 5) = 2 (-3) = 9 =3. Кто решил правильно? В чем причина ошибки другого? Как он должен был записать решение?
|
|
|
Воспитательное значение:
1. Специфика раздела «Тождественные преобразования выражений» заключается в том, что он открывает широкие возможности для выработки у учащихся важных трудовых умений, способствует развитию воли, сообразительности, творческой инициативы, самоконтроля и т.п. В частности, при выполнении заданий комбинированного характера ученик должен вспомнить все известные правила выполнения тождественных преобразований, суметь, следуя этим правилам, шаг за шагом сделать все выкладки, не допустить никаких ошибок, так как малейшая ошибка, например, неверно поставленный знак, делает бессмысленными все усилия. Такая работа способствует воспитанию настойчивости, аккуратности, внимания, осмыслению материала с новых позиций.
2. Целесообразно подобранные упражнения, например при введении в тему, способствуют развитию интереса к математике, мотивации изучения материала. Примеры. 1) Учитель предлагает числовой фокус: «Задумайте число, умножьте на задуманное, к результату прибавьте 1, к полученному результату прибавьте удвоенное задуманное число. Скажите, какое число у вас получилось, а я угадаю, какое число вы задумали». 2) Приемы устного счета:
а) учитель моментально находит квадраты чисел, оканчивающихся на цифру 5: (752, 452, 552 и т. д.), произведение двузначных чисел, число десятков которых одинаково, а сумма единиц равна 10 (53 ·57, 46· 44, 61· 69, 83 ·87 и т. д.);
б) учитель просит учеников назвать любое двузначное число, сам записывает другой множитель и сразу указывает результат. Например, дети называют число 27, учитель – число 23 и дает ответ – 621. Дети удивлены – в чем секрет? Учитель говорит, что секрет они раскроют сегодня после изучения нового материала.
Практическое значение
1. Изучение тождественных преобразований служит аналитическим аппаратом при: – доказательстве теорем и выводе формул, – решении уравнений, неравенств и их систем, – упрощении выражений, – нахождении значений выражений, – исследовании функций и др.
2. Тождественные преобразования (особенно в комплексе с решением уравнений, неравенств, систем) находят широкое применение в смежных дисциплинах (физика, химия) при работе с формулами, решении содержательных задач, подготавливают учащихся к восприятию таких важнейших понятий, как алгоритм, программа и др. Здесь имеют место межпредметные связи.
|
|
|
3. Внутрипредметные связи реализуются, например, при нахождении приближенных значений кубов чисел, где используются формулы: () 3 3 2 2 3 a + b = a + 3a b + 3ab + b, () 3 3 2 2 3 a - b = a - 3a b + 3ab - b [3,c.72].
Сравнение - один из основных логических приемов познания внешнего мира, при котором устанавливается сходство или различие объектов. Оно органически входит во всю практическую деятельность человека, в том числе и в деятельность по изучению математики. В результате сравнения нескольких предметов или явлений можно установить общие свойства, признаки, присущие данным предметам или явлениям. Такое сравнение по сходству называют сопоставлением. Если же в результате сравнения мы будем устанавливать различие предметов или явлений в каких-то признаках, то такое сравнение называют противопоставлением.
Само собой разумеется, что сравнение должно быть целенаправленным, т.е. доведенным до конца по выбранному признаку и должно заканчиваться определенным выводом[7,c.128].
По степени полноты различают частичные и полные сравнения. Полное сравнение устанавливает и сходство, и отличие. Частичное сравнение позволяет глубже осознать отличительное в изучаемом учебном материале.
По способам осуществления различают сравнения параллельные, последовательные отсроченные. Параллельные сравнения используются при изложении материала укрупленными блоками, когда одновременно изучаются взаимосвязанные понятия, теоремы, задачи. При последовательном сравнении новый объект сравнивается с ранее изученными. При отсроченном сравнении сравниваемые объекты значительно значительно удалены друг от друга во времени. В установлении аналогий плоских и пространственных фактов имеют место все три типа сравнений.
Укажем схему, по которой следует проводить сравнение понятий.
1. Выделение признаков понятий.
2. Установление общих и существенных признаков.
3. Выбор одного из существенных признаков.
4. Сопоставление понятий по выбранному основанию.
При изучении математики предметом сравнения могут быть объекты окружающей действительности, понятия, признаки, результаты экспериментов, теоремы и их доказательства, структуры задач и методы их решения, оперативный состав алгоритмов различных действий, методы учебной работы, а также факты, процессы, этапы работы. На занятиях учащимся предлагается сравнить: выражения, структуры различных заданий, примеры сложения и вычитания. При этом всегда должны соблюдаться следующие логические и дидактические требования к объектам сравнения.
Сравнивать можно только однородные объекты, принадлежащие одному и тому же классу.
Процесс формирования у учащихся навыков использования объектов сравнения имеет определенные этапы.
Первый этап - приобретение опыта сравнения.
Второй этап - выяснение уровня формирования умения использовать данную методику. Для этого преподаватель проводит контрольную работу, включающую вопрос о сравнении.
Третий этап - мотивация, создание атмосферы заинтересованности учащихся в овладении рациональной техникой. Учитель анализирует каждую работу, а на следующем уроке делает детальный анализ сильных и слабых сторон.
Четвертый этап сравнения - осознание сути метода и правил его применения. Сущность метода разъясняется учащимся в виде краткого определения. Затем в процессе беседы или обучения вводится ориентированное на правила использование данной методики.
Пятый этап - применение техники сравнения в классе и на домашнем задании, в устных и письменных ответах, во взаимоотношениях, при решении познавательных задач и выполнении сравнительных упражнений.
Общее в объектах сравнения можно установить только в том случае, если их что-то различает, а установить различие между ними можно только при наличии определенного сходства.
Легче сравнивать простые объекты, факты, чем качества, особенности, процессы или категории. Поэтому объекты сравнения следует постепенно усложнять. Лучше научить сравнивать, начиная с двух объектов, а затем постепенно увеличивать их количество. При сравнении сложных объектов необходимо ввести третий, более контрастный объект, активнее использовать сочетание словесных и визуальных методов.
Использование методов сравнения помогает достичь положительных результатов в обучении и развитии, если они вводятся целенаправленно, сознательно, с учетом характера материала, сравниваемых объектов, возраста и уровня развития школьников[7,c.135].
Фрагмент урока
- Сегодня на уроке вы изучите новое действие со скобками. Как это действие называется, вы узнаете, если ответите на ряд вопросов.
а б в
1 отк рас опу
2 кры рыва ска
3 тие ние ть
Вопросы:
Задан ряд чисел: 1,1, 2, 3, 5, 8, 13…, продолжите его.
А) 18 б) 21 в)15
На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках?
А) 50 б) 100 в)1000
Вычислите: -25+(-24)+(-23)+…….+23+24+25
А) 0 б)35.600 в)-35.600
Тема нашего урока: Раскрытие скобок и заключение в скобки.
-Как вы считаете, ребята, исходя из того, о чем мы говорили сегодня и ранее полученных знаний, какова цель нашего урока, над чем мы будем сегодня с вами работать? И чему вы сможете научиться? (ученики высказывают свои предположения).
-Молодцы! А теперь позвольте мне обобщить то, что вы сказали. Итак, цель урока – сформировать понятия раскрытие скобок и заключение в скобки, перед которыми стоит знак «плюс» (+) и перед которыми стоит знак «минус» (-); научиться применять правило раскрытия скобок при упрощении выражений, нахождении значений выражений.
А для чего нужны нам целые числа, зачем изучают эту тему в школе?
-Взгляните на доску, там задание: «Раскройте скобки и вычислите»:
а) 3+(2-3) =
б) 6- (6 - 4) = Скажите ответ.
Как считали? (первое действие вычисляем в скобках).
Какое было задание? (раскрыть скобки).
- Все смогли раскрыть скобки?
- Почему у вас возникло затруднение? (не знаем правила раскрытия скобок).
-А есть ли в математике закон, который позволяет нам избавиться от скобок? (да, распределительный).
Давайте все же вернемся к заданию и попытаемся его решить.
Какой вывод можно сделать?
(Если перед скобками стоит знак «+», надо опустить скобки и переписать слагаемые без изменения. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», надо опустить скобки, но поменять знаки всех слагаемых в скобках на противоположные)
Сформулируйте правило раскрытия скобок.
Если сумма заключена в скобки, перед которыми стоит знак «+», то при раскрытии скобок знаки слагаемых оставляют без изменения.
Если сумма заключена в скобки, перед которыми стоит знак «-», то при раскрытии скобок знаки слагаемых меняют на противоположные.
Если сумма заключается в скобки, перед которыми стоит знак «+», то знаки слагаемых, заключаемых в скобки, оставляют без изменения.
Если сумма заключается в скобки, перед которыми стоит знак «-», то знаки слагаемых, заключаемых в скобки, меняют на противоположные.
Задание 2.
На первом уроке темы «Задачи на дроби» в пятом или шестом классе (в зависимости от программы) говорится, что все задачи на дроби делятся на три типа:
1. Задачи на нахождение части от числа, выраженной дробью
2. Задачи на нахождение числа по его части, выраженной дробью
3. Задачи на нахождение дроби, которую одно число составляет от другого[4].
Затем каждый тип задач отрабатывается в течение одного-двух уроков по одинаковой схеме. Покажем ее на примере задач первого типа.
Учитель: Мы с вами уже умеем решать задачи, в которых нужно найти какую-то часть от числа. Давайте решим такую: В классе 20 человек. Из них 2\5 девочки. Сколько девочек в классе?
Учeники предлагают 20 разделить на 5 и затем результат умножить на 2.Такие задачи они решали еще в начальной школе. Учитель соглашается, но предлагает записать решение в виде выражения, а затем преобразовать его следующим образом:
При этом два действия - деление на знаменатель дроби, а затем умножение на ее числитель заменим одним действием – умножением на дробь.
Приходим к правилу: Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, надо это число умножить на дробь.
К задаче составляется схема, по которой ясно видно, какая величина принимается за единицу («целое») и что является ее частью.
Затем каждая следующая задача решается аналогично: составляется схема, вслух проговаривается правило, по нему составляется выражение. Нужно пресекать попытки учащихся решать задачи так, как они решали раньше, т.е. сначала разделить на знаменатель дроби, а затем умножить на числитель. Мы объясняем, что «новый» способ легче для решения более сложных задач. Кроме того, показываем детям аналогию действия по нахождению дробной части числа с действием по нахождению числа в n раз больше данного. Пример: В классе 20 человек. Сколько человек в двух таких классах? 20 умножить на 2. А в трех? 20 умножить на 3. А в 2\5 класса? 20 умножить на 2\5 [9,c.87].
Два других типа задач разбираются аналогично. В учебнике Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон «Математика 5,часть 2» даны формулировки соответствующих правил и схем к задачам. Затем проводится обобщающий урок по теме. На нем еще раз разбираются все типы задач на примере одной прямой и двух обратных к ней задач. Учитель просит какого-нибудь ученика придумать несложную задачу на нахождение части от числа, выраженной дробью.
Простой пример: В корзине лежало 16 грибов, Из них 3\4 белые. Сколько белых грибов было в корзине? На доске чертится схема, а затем записывается решение в соответствии с нужным правилом.
Теперь учитель предлагает составить задачу другого типа по тем же данным. В случае затруднения он сам произносит текст этой задачи. В корзине лежало 12 белых, что составляет 3\4 всех грибов, лежащих в корзине. Сколько всего грибов было в корзине? Опять составляется схема и записывается решение.
С составлением задачи третьего типа дети обычно уже справляются самостоятельно. В корзине лежало 16 грибов, из них 12 белых. Какую часть всех грибов составляют белые?
В последующем при решении более сложных комбинированных задач на дроби учитель постоянно акцентирует внимание на том, что нужно найти в каждом промежуточном действии, т.е. какой тип задачи и по какому правилу действуем. Правила каждый раз проговариваются вслух. Вспомогательные схемы уже можно не чертить. Постепенно даже слабые ученики усваивают решение задач на дроби, ошибок становится все меньше[9,c.137].
Когда начинается тема: «Проценты. Задачи на проценты», учащимся достаточно четко разъяснить, что проценты – это те же дроби со знаменателем 100.
Снова вспоминаем три типа задач и теперь формулируем правила, как считать:
1. Процент от числа (т.е. часть, зная целое)
2. Целое по его проценту (т.е. части)
3. Процентное отношение (т.е. какую часть в процентах одно число составляет от другого)
Формулировка правил, формулы и схемы даны в учебнике «Математика 6, часть 1» тех же авторов.
Задачи всех трех типов опять последовательно отрабатываются на уроках. Снова проводится обобщающий урок по теме «Задачи на проценты», на котором дети вспоминают свои задачи на дроби. Те же три задачи формулируем иначе. В корзине лежало 16 грибов. Из них 75% составляли белые. Сколько белых грибов было в корзине? В корзине лежало 12 белых, что составляло 75% всех грибов, лежащих в корзине. Сколько всего грибов в корзине? И наконец: В корзине из 16 грибов было 12 белых. Какой процент составляют белые от всех грибов в корзине? На дом учащимся опять задается творческая работа. Предлагается переделать свои задачи в задачи на проценты, сохранив по возможности не только условия, но и все числа, переведя дроби в соответствующие проценты. Задачи оформляются по прежним правилам, только без красивых картинок [2,c.74].
В качестве заключительного урока хорошо провести устный зачет. На нем каждый ученик должен ответить одно из правил (кому какое достанется), рассказать условие своей задачи, которую нужно решать, действуя по этому правилу, начертить схему и записать решение.
Далее можно переходить к решению более сложных, комбинированных задач.
Следует обратить внимание на задачи типа: «На сколько процентов 72 меньше, чем 18?». Мы советуем, особенно на первых порах, решать их только со схемами. Кроме того, учащиеся должны твердо усвоить и запомнить, что то, с чем сравнивается, принимается за 100%. Поэтому решение любой задачи нужно начинать с вопроса: «Что мы принимаем за 100%?». Далее чертится схема:
По ней ясно видно, что задачу можно решать двумя способами. Первый способ:
1. Найти, на сколько 72 больше, чем 18? –на 54
2. Сколько % 54 составляет от 18?–(54:18)*100% (действуем по правилу- Как найти процентное отношение двух чисел? –Первое число разделить на второе и умножить на 100%)
Второй способ:
1. Сколько % 72 составляет от 18?- (та же цепочка рассуждений, что и во 2-м действии предыдущего решения, приводит нас к ответу 400%)
2. На сколько % это число больше 100%? -400%-100%=300% [13,c.85].
При решении сложных задач на дроби и проценты, на наш взгляд, очень полезно (особенно для сильных учащихся) пытаться решать задачу несколькими способами. Если дети видят эти способы, это значит, что они действуют не автоматически, по заученному правилу, а разбираются в сути задачи.
Большая часть класса, в конце концов, усваивает алгоритмы решения задач различных типов. Поэтому, когда через некоторое время в теме: «Пропорции» начинаем разбирать решение задач на проценты методом пропорции, ученики часто говорят, что им легче «считать по правилам». Но мы объясняем учащимся, что это – еще один способ решения таких задач, который им очень пригодится в будущем на уроках химии [6,c.69].
Практика показала, что благодаря тщательному разбору тем в 5-6 классах: многократному вычерчиванию схем и проговариванию вслух правил, выполнению творческих заданий по составлению прямых и обратных задач разного типа – принципы решения задач на дроби и проценты не только хорошо усваиваются, но и не забываются с годами.
Задание 3
