Параметрические методы спектрального оценивания

Альтернативный подход к расчету спектральных оценок реализуется с использованием так называемых параметрических методов. Наиболее распространенные из них основаны на модели авторегрессии (ЛР), описываемой уравнением:

где х(n) — отсчеты процесса авторегрессии, w(n) — отсчеты возбуждающего белого шума, а_k — коэффициенты модели, а р — порядок модели.

Если по последовательности отсчетов некоторого анализируемого сигнала удастся найти набор коэффициентов авторегрессии ад. и получить оценку дисперсии возбуждающего белого шума p_w, то оценка спектральной плотности мощности (СПМ) данного сигнала будет определяться выражением:

где Т = 1/ f _д период дискретизации сигнала, а f частота соответствующего значения СПМ.

Идея авторегрессионного метода иллюстрируется на рис. Пусть требуется оценить спектральную плотность мощности некоторого наблюдаемого дискретного сигнала у(n). Подадим на вход рекурсивного цифрового фильтра, имеющего набор коэффициентов a₁, a₂, …, a_p и передаточную функцию H(f), воздействие г/(n) в виде отсчетов белого шума (абсолютно случайного сигнала). Тогда в случае. если удастся так подобрать коэффициенты фильтра, что средняя энергия ошибки е(n) окажется минимальной, можно считать, что передаточная функция фильтра H(f) (с точностью до множителя p_w представляющего собой оценку дисперсии возбуждающего белого шума u(n)) является оценкой спектральной плотности мощности сигнала у(n).

Иллюстрация авторегрессионного метода получения спектральных опенок

Разработан целый ряд алгоритмов оценки параметров авторегрессии (коэффициентов a1, a2, …, ap и параметра pw), из которых наиболее известны следующие четыре:

· автокорреляционный метод Юла-Уоркера;

· метод максимальной энтропии Берга;

· ковариационный метод;

· модифицированный ковариационный метод.

Из перечисленных алгоритмов наилучшие результаты дают последние два, основанные на методах линейного предсказания. В то же время эти методы наиболее сложны в вычислительном отношении.

Процедура получения спектральных оценок с помощью авторегрессионных методов может быть описана следующей последовательностью этапов:

· Удаление из сигнала среднего значения (или линейного тренда) с целью устранения постоянной составляющей.

· Выбор порядка модели р.

· Оценивание параметров АР модели («), a1, a2, …, ap и pw).

· Вычисление оценки СПМ P(f).

· Анализ полученных результатов и при необходимости выбор нового значения порядка р (т. е. переход обратно к шагу 2).

Последний из этапов выполняется до тех пор, пока не будет достигнут приемлемый компромисс между частотным разрешением СПМ и дисперсией получаемых спектральных оценок. Чем больше выбранная величина порядка р, тем выше разрешение получаемой оценки СПМ (т. е. возможность различения близких по частоте составляющих), но при этом большим оказывается и разброс спектральных оценок, т. с. статистическая устойчивость результатов анализа снижается. Как видим, применение данных методов предполагает необходимость контроля результатов человеком-исследователем, что является одним из главных недостатков параметрических методов.

На рис показан фрагмент сигнала ЭЭГ и примеры оценок СПМ, рассчитанных альтернативными методами. Как можно видеть, полученные оценки СПМ существенно отличаются друг от друга. В то же время, на каждом из графиков отчетливо виден пик на частоте чуть выше 10 Гц, соответствующий a-ритму. Необходимо отметить, что хотя высота пиков на графиках СПМ различна, суммарная мощность, равная площади под кривой СПМ, во всех случаях одна и та же.

Пример расчета СПМ альтернативными методами спектрального анализа. а) фрагмент ЭЭГ, содержащий выраженный n-ритм; б) СПМ. рассчитанная периодограммным методом; в) СПМ, рассчитанная методом Уэлча; г) СПМ, рассчитанная АР методом с порядком, равным 8; д) СПМ, рассчитанная АР методом с порядком, равным 15

В табл. дана сравнительная характеристика методов на основе ДПФ и параметрических методов. В практических задачах выбор конкретного метода расчета спектральных оценок необходимо осуществлять, учитывая как частотные свойства сигнала, так и конечные цели и условия анализа сигнала.

Таблица. Сравнение альтернативных методов спектрального анализа