double arrow

Взаимная спектральная плотность мощности и функция когерентности

Взаимосвязь колебательных процессов, присутствующих в двух одновременно наблюдаемых сигналах, наиболее полно позволяет отразить их взаимный спектр, который содержит информацию как о мощности совместных колебаний, так и о фазовых сдвигах между колебаниями с одинаковыми частотами. Функция взаимной спектральной плотности мощности (ВСПМ) может быть получена как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции (ВКФ) двух сигналов:

pxy(f) = FT|Сху(τ)| = X* (f) Y(f)

где pxy(f) — значение ВСПМ сигналов x и у для частоты f, Сху(τ) — ВКФ для временного сдвига τ, а X(f) и Y(f) преобразования Фурье для соответствующих сигналов.

На практике при цифровом анализе сигналов оценка ВСПМ может быть получена различными способами, из которых наиболее известны следующие ]:

· Непосредственное вычисление ВСПМ по ДПФ двух синхронно снятых дискретных выборок сигналов x(n) и у(п), где n = 0, 1, …, N-1.

Если ДПФ сигналов определены как

, k = 0, …., N-1

, k = 0, …., N-1

то оценка ВСПМ может быть рассчитана как

, k = 0, …., N-1

· Получение оценки ВСПМ как ДПФ от оценки ВКФ.

В этом случае сначала вычисляется смещенная оценка взаимной корреляционной функции двух сигналов:

где m — значение сдвига, а σх и σу — стандартные отклонения соответствующих сигналов. Тогда оценка ВСПМ может быть рассчитана по формуле:

, k = 0, …., 2(N-1)

· Расчет оценки ВСПМ с использованием одного из распростра ценных методов практического спектрального анализа — периодограммного метода Уэлча, который включает следующие этапы:

o Разбиение анализируемых фрагментов на перекрывающиеся сегменты одинаковой длительности.

o Вычисление ВСПМ для каждого из сегментов.

o Усреднение ВСПМ по всем сегментам.

Далее для любого из трех методов модуль ВСПМ и ее аргумент (взаимный фазовый спектр, ВФС) могут быть рассчитаны по формулам

Полученное значение |Рxy(k)| имеет размерность произведения размерностей обоих сигналов, а значение ∠Pxy(k) выражается в радианах. Обычно бывает удобнее представлять фазовый сдвиг в градусах:

∠Pxy0(k)= ∠Pxy(k) 180°/π.

Временной сдвиг между сигналами для какой-либо определенной частоты fk = kf д/N (где f д — частота дискретизации, а N — число элементов ДПФ) может быть определен как

если ВФС выражен в радианах, или

 если ВФС выражен в градусах.

Важно отметить, что порядок вычисления взаимного спектра влияет на знак получаемого фазового сдвига. Положительным значениям фазы будет соответствовать запаздывание первого их сигналов относительно второго и наоборот.

Помимо ВСПМ часто рассматривается функция когерентности, определяемая выражением:

Функция когерентности представляет собой нормированный вариант ВСПМ, и ее модуль может принимать значения не более единицы. Эго может оказаться удобным для оценки относительной степени взаимосвязанности двух процессов на определенной частоте.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: