2020-06-12
87
Рассмотрим систему автоматического управления, описываемую линейным дифференциальным уравнением вида:
(2.1)
где y (t) – входной сигнал, x (t) – выходной сигнал, 
– постоянные коэффициенты, 
– постоянные числа.
Чтобы перейти к операторному виду (прямое преобразование Лапласа) необходимо сделать замену:
т.е.:
Тогда уравнение (2.1) примет вид:
.
Передаточной функцией системы (звена) W (p) называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях. Тогда перейдем к передаточной функции:
Для описания линейных систем могут применяться несколько способов:
• передаточные функции в виде tf-модели:
• передаточные функции в виде «нулей-полюсов» zpk-модели:
· модели в пространстве состояний (ss-модели) в виде системы дифференциальных уравнений в форме Коши
В системе MATLAB и, в частности, его приложении Control System Toolbox для описания непрерывных и дискретных динамических моделей объектов управления с постоянными параметрами (LTI – объектов, от англ. linear time invariant object) использует либо tf-форму передаточной функции, либо zpk-форму нулей, полюсов и обобщенного коэффициента передачи, либо ss-форму пространства состояний. Передаточная функция описывается в виде отношения многочленов, которые задаются в виде векторов-строк, составленных из их коэффициентов. В zpk-форме корни многочленов числителя и знаменателя передаточной функции и обобщенного коэффициента передачи также задаются в виде одномерных массивов. Наиболее естественным для системы MATLAB является представление модели в пространстве состояний в виде дифференциального или разностного уравнения. Модели могут быть одномерными (с одним входом и одним выходом - SISO) или многомерными (со многими входами и многими выходами - MIMO).
Таким образом, математическую модель стационарной непрерывной или дискретной системы можно задать следующими способами:
в tf-форме передаточной функции
; (2.1)
в zpk-форме нулей, полюсов и коэффициента усиления
; (2.2)
в ss-форме пространства состояний в виде системы дифференциальных уравнений, записанной в форме Коши
(2.3)
в модифицированной dss-форме пространства состояний в виде системы дифференциальных уравнений, записанной в неявной форме Коши
(2.4)
Такая форма представления используется в тех случаях, когда матрица Е плохо обусловлена по отношению к операции обращения.
Ниже представлены функции MATLAB, используемые для создания LTI – моделей и определения их свойств (таблицы 2.1-2.5).
Таблица 2.1 Функции создания LTI – моделей
| tf | Задает объект класса tf |
| zpk | Задает объект класса zpk |
| ss | Задает объект класса ss |
| dss | Задает объект класса dss |
Таблица 2.2 Функции извлечения информации об LTI – моделях
| get | Информация о свойствах |
| ssdata | Извлечение данных об ss-модели в явной форме Коши |
| dssdata | Извлечение данных об ss-модели в неявной форме Коши |
| tfdata | Извлечение данных о tf-модели |
| zpkdata | Извлечение данных о zpk-модели |
Таблица 2.3 Преобразование LTI- моделей
| c2d | Построение дискретной модели непрерывной системы |
| d2c | Построение непрерывной модели дискретной системы |
| d2d | Изменение периода дискретности |
| ss | Преобразование моделей к ss-форме |
| tf | Преобразование моделей к tf-форме |
| zpk | Преобразование моделей к zpk-форме |
