Краткие теоретические сведения

Рассмотрим систему автоматического управления, описываемую линейным дифференциальным уравнением вида:

                                                    (2.1)

где y (t) – входной сигнал, x (t) – выходной сигнал,  – постоянные коэффициенты,  – постоянные числа.

Чтобы перейти к операторному виду (прямое преобразование Лапласа) необходимо сделать замену:

т.е.:

 

Тогда уравнение (2.1) примет вид:

.

Передаточной функцией системы (звена) W (p) называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях. Тогда перейдем к передаточной функции:

Для описания линейных систем могут применяться несколько способов:

• передаточные функции в виде tf-модели:

• передаточные функции в виде «нулей-полюсов» zpk-модели:

· модели в пространстве состояний (ss-модели) в виде системы дифференциальных уравнений в форме Коши

 

В системе MATLAB и, в частности, его приложении Control System Toolbox для описания непрерывных и дискретных динамических моделей объектов управления с постоянными параметрами (LTI – объектов, от англ. linear time invariant object) использует либо tf-форму передаточной функции, либо zpk-форму нулей, полюсов и обобщенного коэффициента передачи, либо ss-форму пространства состояний. Передаточная функция описывается в виде отношения многочленов, которые задаются в виде векторов-строк, составленных из их коэффициентов. В zpk-форме корни многочленов числителя и знаменателя передаточной функции и обобщенного коэффициента передачи также задаются в виде одномерных массивов. Наиболее естественным для систе­мы MATLAB является представление модели в пространстве состояний в виде дифференциального или разностного уравнения. Модели могут быть одномерными (с одним входом и одним выходом - SISO) или многомерны­ми (со многими входами и многими выходами - MIMO).

Таким образом, математическую модель стационарной непрерывной или дискретной системы можно задать следующими способами:

в tf-форме передаточной функции

;        (2.1)

в zpk-форме нулей, полюсов и коэффициента усиления

;            (2.2)

в ss-форме пространства состояний в виде системы дифференциальных уравнений, записанной в форме Коши

                                    (2.3)

 в модифицированной dss-форме пространства состояний в виде системы дифференциальных уравнений, записанной в неявной форме Коши

                                 (2.4)

Такая форма представления используется в тех случаях, когда матрица Е плохо обусловлена по отношению к операции обращения.

Ниже представлены функции MATLAB, используемые для создания LTI – моделей и определения их свойств (таблицы 2.1-2.5).

Таблица 2.1 Функции создания LTI – моделей

tf	Задает объект класса tf
zpk	Задает объект класса zpk
ss	Задает объект класса ss
dss	Задает объект класса dss

Таблица 2.2 Функции извлечения информации об LTI – моделях

get	Информация о свойствах
ssdata	Извлечение данных об ss-модели в явной форме Коши
dssdata	Извлечение данных об ss-модели в неявной форме Коши
tfdata	Извлечение данных о tf-модели
zpkdata	Извлечение данных о zpk-модели

Таблица 2.3 Преобразование LTI- моделей

c2d	Построение дискретной модели непрерывной системы
d2c	Построение непрерывной модели дискретной системы
d2d	Изменение периода дискретности
ss	Преобразование моделей к ss-форме
tf	Преобразование моделей к tf-форме
zpk	Преобразование моделей к zpk-форме