2020-06-12
187
Известно, что вид корней характеристического уравнения линейной системы определяет характер переходных процессов, в ней происходящих. Поэтому расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости может служить оценкой характера переходных процессов в системе. Чем ближе корни характеристического уравнения располагаются к мнимой оси, тем медленнее будут затухать переходные процессы.
Абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня называется степенью устойчивости
.
Если ближайшим к мнимой оси будет вещественный корень, то составляющая переходного процесса, определяемая этим корнем, будет иметь вид
. (8.1)
Причем все остальные составляющие переходного процесса будут затухать быстрее, так как показатель степени будет больше.
Если считать, что переходный процесс заканчивается при 
, то можно определить время переходного процесса из соотношения
|
|
|
.
Если ближайшей к мнимой оси является пара комплексно-сопряженных корней 
, то составляющая переходного
процесса, определяемая этими корнями, примет вид 
, что при 
приводит к выражению (8.1). Переходные характеристики с разной степенью колебательности показаны на рис. 8.2.
Если в системе имеют место два колебательных процесса с одинаковой степенью устойчивости 
, но различной частотой 
, как показано на рис. 8.1, можно утверждать, что хотя время затухания этих процессов будет одинаково, однако эти процессы будут существенно отличаться друг от друга. Для сравнения колебательных процессов, поэтому вводят дополнительный показатель качества, называемый степенью колебательности.
Степень колебательности равна отношению мнимой части корня к вещественной
.
Задание определенной величины колебательности ограничивает область расположения корней характеристического уравнения двумя лучами, составляющими с вещественной осью угол
.
|
|
|
|
Рис. 8.2. Переходные характеристики системы с разной степенью колебательности
Таким образом, если в системе заданы степени устойчивости и колебательности, все корни характеристического уравнения системы должны располагаться внутри незаштрихованной области комплексной плоскости, что показано на рис. 8.3.
Рис. 8.3. Область заданной степени устойчивости и колебательности
Степень колебательности связана с еще одним корневым показателем качества – степенью затухания.
Недостатком корневых критериев качества является необходимость вычисления корней характеристического уравнения и невозможность или сложность их экспериментального определения. Поэтому большее распространение получили частотные показатели качества.
|
|
|
Частотные показатели качества определяются по частотным характеристикам системы и, в частности, по амплитудно-частотной характеристике замкнутой системы и амплитудно-фазочастотной характеристике разомкнутой системы. Нормированная амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы (рис. 8.4) дает следующие показатели качества:
1) показатель колебательности 
;
2) резонансная частота системы ωp;
3) частота среза, при которой 
;
4) частота пропускания 
;
5) эквивалентная частота пропускания 
. (8.2)
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.4. Частотные показатели качества.
Показатель колебательности М характеризует запас устойчивости системы, чем выше показатель колебательности, тем меньше запас устойчивости.
Постановка задачи
В качестве объекта исследования выступает система регулирования с передаточной функцией:
Выполнить исследование оценок качества системы по заданной передаточной функции.
Необходимо:
1. Построить и отобразить в одном окне графики амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) замкнутой системы регулирования для следующих значений коэффициента демпфирования ζ = 0,707; 0,6; 0,4; 0,2; 0,1, значения k и T взять из табл. 8.1.
Таблица 8.1 – Варианты заданий
| № варианта | k | T |
| 1 | 1 | 0,2 |
| 2 | 2 | 0,3 |
| 3 | 3 | 0,4 |
| 4 | 4 | 0,5 |
| 5 | 5 | 0,6 |
| 6 | 6 | 0,7 |
| 7 | 7 | 0,8 |
| 8 | 8 | 0,9 |
| 9 | 9 | 1,0 |
| 10 | 10 | 1,1 |
| 11 | 11 | 1,2 |
| 12 | 12 | 1,3 |
| 13 | 13 | 1,4 |
| 14 | 14 | 1,5 |
| 15 | 15 | 1,6 |
| 16 | 16 | 1,7 |
| 17 | 17 | 1,8 |
| 18 | 18 | 1,9 |
| 19 | 19 | 2,0 |
| 20 | 20 | 2,1 |
2. Определить по графикам АЧХ соответствующие значения частотных показателей качества: показатель колебательности, резонансную частоту, частоту среза, частоту пропускания системы. Результаты свести в таблицу 8.2.
Таблица 8.2 – Результаты вычислений
| ζ | 0,707 | 0,6 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
| М | … | … | … | … | … |
| ωp | … | … | … | … | … |
| ωc | … | … | … | … | … |
| ωп | … | … | … | … | … |
3. Найти и разместить на комплексной плоскости корни характеристического полинома замкнутой системы для заданных значений коэффициента демпфирования ζ.
4.. Построить графики переходных процессов в системе по передаточной функции при заданных значениях коэффициента демпфирования ζ.
5. Определить прямые показатели качества переходных процессов. Результаты занести в табл. 8.3.
Таблица 8.2 – Результаты вычислений
| ζ | 0,707 | 0,6 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
| δ | … | … | … | … | … |
| t п | … | … | … | … | … |
6. Построить графики зависимости перерегулирования δ, относительного времени регулирования и показателя колебательности М от значения коэффициента демпфирования ζ.
7. Подготовить ответы на контрольные вопросы.
