2020-06-12
118
Обратите внимание, что из-за ортогональности матрицы перехода 
в спектральном разложении, обратная матрица к совпадает с транспонированной:
.
Таким образом, в этом случае формула преобразования матрицы оператора:
может быть записана в виде:
,
что совпадает с преобразованием матрицы квадратичной формы при соответствующей замене базиса. И фактически, таким ортогональным преобразованием (поворотом пространства) мы приводим квадратичную форму к каноническому виду, причем без растяжений и сжатий. Вот почему ортогональные преобразования и спектральное разложение матриц получили такое широкое применение.
Задание 6. Привести квадратичную форму
методом ортогональных преобразований к каноническому виду.
Решение. Запишем матрицу квадратичной формы
,
после чего нам остается найти ее спектральное разложение. Данную задачу для этой матрицы мы уже решили в предыдущем примере 5 (см. рис.3). Диагональная матрица квадратичной формы при этом получилась
,
что приводит к следующему каноническому виду квадратичной формы в новых переменных:
.
Сингулярное разложение матриц*
(Singular Values Decomposition, SVD)
Как мы уже отмечали выше, не все вещественные квадратные матрицы допускают спектральное разложение:
,
где 
ортогональная матрица, составленная из собственных векторов матрицы 
, а 
собственные значения матрицы .
Одним из частично обобщающих разложений является сингулярное разложение матриц. По теореме Дж. Форсайт для любой квадратной вещественной матрицы найдутся такие две ортогональные матрицы 
и 
той же размерности, что будет выполняться следующее разложение, называемое сингулярным:
.
Причем, всегда можно так выбрать матрицы и , чтобы числа, стоящие на главной диагонали 
располагались по убыванию.
В сингулярном разложении принята следующая терминология: столбцы матрицы называют левыми сингулярными векторами, а столбцы матрицы – правыми сингулярными векторами. Значения называют сингулярными значениями матрицы .
Для симметричных вещественных неотрицательных квадратных матриц спектральное и сингулярное разложения совпадают.
Замечание. Можно показать, что столбцы матрицы 
являются собственными векторами матрицы 
, а квадраты сингулярных чисел 
– ее собственными значениями. Аналогично столбцы матрицы 
являются собственными векторами матрицы 
, а квадраты сингулярных чисел так же являются ее собственными значениями.
Задание 6. Для матрицы
найти ее спектральное разложение.
Решение. Введем матрицу A через excel-формат, найдем ее сингулярные значения d, левую и правую матрицы разложения U и V, получим диагональный вид D в сингулярном разложении и проверим истинность найденного разложения по формуле:
.
Data <- read.table("clipboard",h=FALSE,dec=",",sep = "\t") # Чтение из буфера обмена excel
A <- as.matrix.data.frame(Data); A # Объявляем таблицу чисел Data матрицей A в R
S <- svd(A) # Производим сингулярное разложение матрицы A
d <- S$d; d # Вектор (массив) всех сингулярных чисел
U <- S$u; U # Левая матрица U в сингулярном разложении
V <- S$v; V # Правая матрица V в сингулярном разложении
D <- diag(S$d); D # Диагональная матрица D в сингулярном разложении
U %*% D %*% t(V) # A = U D V' сингулярное разложение A (проверка)
round(U %*% D %*% t(V), 8) # то же самое, но нагляднее
С результатом, представленном на рисунке 4.
Рис. 4.
Обратите внимание, что полученное сингулярное разложение всегда наглядно отражает ранг матрицы . Действительно, получающаяся диагональная матрица разложения
имеет ранг 2, что по свойству сингулярного разложения совпадает с рангом исходной матрицы .
Замечание. Сингулярное разложение оказывается определено и для неквадратных матриц. Единственное отличие состоит в том, что матрица не будет квадратной и уж тем более ортогональной. Попробуйте получить сингулярное разложение для матрицы:
A <- matrix(1:12, 3, 4, byrow = TRUE); A
т.е. найти соответствующие матрицы , и 
. Обязательно проверьте результат – сингулярное разложение матрицы должно совпадать с самой матрицей:
.
