Преобразование матрицы линейного оператора

    При переходе от одного базиса к другому матрица линейного оператора меняется, хотя действие самого оператора, разумеется сохраняется. Если переход от старого базиса, скажем,  к новому базису  задан матрицей перехода , то связь между матрицами линейного оператора в этих базисах  и  задается следующим образом:

                                                                                  (1)

                                                                                  (2)

    Может так оказаться, что в новом базисе матрица оператора выглядит проще, чем в исходном.

Задание 3. Матрица линейного оператора в базисе  имеет вид:

,

а матрица перехода к новому базису  задана матрицей :

.

Найти матрицу этого оператора  в новом базисе.

Решение. Введем указанные матрицы в Excel

Воспользуемся далее буфером обмена и реализуем преобразование (1) :

Data <- read.table("clipboard",h=FALSE,dec=",",sep = "\t") # Чтение из буфера обмена excel W <- as.matrix.data.frame(Data)   # Объявляем таблицу чисел Data матрицей W в R

P <- W[, 1:3]; P              # Первые три столбца матрицы W записываем в матрицу P   

Ae <- W[, 4:6]; Ae         # Последние три столбца матрицы W записываем в матрицу Ae

 

Af <- (solve(P) %*% Ae) %*% P # Вычисляем матрицу оператора Af в новом базисе

round(Af, 8)                             # Выводим округление результата с точностью до 8 знаков

с результатом:

> Af <- (solve(P) %*% Ae) %*% P # Вычисляем матрицу оператора в новом базисе> round(Af, 8)           # Выводим округление результата с точностью до 8 знаков V1 V2 V3V1 2 0 0V2 0 -1 0V3 0 0 3

    Как видим, матрица оператора в новом базисе выглядит очень простой, такой вид матриц называется диагональным.

В математике выделяют целый ряд специальных преобразований базиса, которые приводят матрицы операторов к наиболее простым видам. Мы рассмотрим некоторые из них и для краткости будем опускать слова базис и оператор, говоря просто лишь о самих преобразующихся матрицах.