Механический смысл производной

Учащиеся повторяют определение в парах и вслух. Учитель демонстрирует фрагмент презентации о механическом смысле производной, проговаривают, что применяется практически при решении задач на прямолинейное движение и равноускоренное(слайд 12).

Задание 1. Сегодня мы с вами решим 2 задачи (слайд 13)

Задача 1 Лифт после включения движется по закону s(t) = t² + 2t + 12. Найти скорость лифта в конце 5 секунды.(12 м/с)

Задача 2. Лыжник, спускаясь с горы, движется по закону s(t) = 0,5t² - t. Найти скорость и ускорение лыжника в момент времени t= 3 с, если расстояние измеряется в метрах. Какое это движение? (v(3) = 2 м/с;

а = 1 м/с; равноускоренное движение)

Задание 2. Класс делится на 4группы и каждая получает задание по своей профессии(слайд 14):

«Конструкторы»

1. Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 10 см масса куска стержня АС длиной l определяется по формуле m (l) = 4l²+ 3l. Найдите линейную плотность стержня в середине отрезка. Решение

ṗ (l) = m΄ (l) = 8l + 3; ṗ (5) = 8∙5 + 3 = 43 (г/см)Линейная плотность в точке С есть производная по l от переменной массы m (l).

Ответ: 43 (г/см)

«Электрики»

2. Количество электричества, прошедшего через проводник начиная с момента t = 0, q (t) = 2 t ² + 3 t + 1. Найдите силу тока в конце пятой секунды.

Решение

I (t) = q΄ (t) = 4 t + 3 (A);

I (5) = 4∙5 + 3 = 23 (A).

Ответ: 23 А.

«Работники теплосети»

3. Количество тепла Q, необходимого для нагревания 1 кг воды от 0 °С до t °С, определяется по формуле Q (t) = t + 0,00002 t ² + 0,0000003 t ³. Вычислите теплоемкость воды для t = 100 °С.

Решение

C (t) = Q ΄(t) = 1 + 0,00004 t + 0,0000009 t ²;

Q΄ (100) = 1 + 0,004 + 0,009 = 1,013 (Дж).

Теплоемкость тела есть производная от количества тепла по температуре.

Ответ: 1,013 (Дж).

«Диспетчеры»

4. Тело движется прямолинейно по закону s (t) = 3 + 2t + t² (м). Определите его скорость и ускорение в момент времени t = 3 с.

Решение

v (t) = s΄ (t) = 2 + 2t

a (t) = v΄ (t) = 2 (м/с²)

v (3) = 2 + 2∙3 = 8 (м/с).

Ответ: 8 м/с; 2 м/с².

Проверяют по карточкам с ответами, выставление баллов /взаимооценка/

Y. Задание на дом: 1) задание для каждой группы без того, которое было решено на уроке; 2) задание на перспективу: создание проекта «Применение производной»

Вопросы:

1) Какие темы мы повторили на уроке?

2) Какие типовые задачи решили?

3) С какими науками связано понятие производной?

4) Что узнали нового на уроке?

5) Что понравилось на уроке?

6) Что не понравилось?

Урок по теме “ Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. ”

Практическая работа.

Опорный конспект:

1. Определение арифметической прогрессии.

(Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой,

начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом).

2. Формула n -го члена арифметической прогрессии

( )

3. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

( или )

4. Определение геометрической прогрессии.

(Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел,

каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на

одно и то же число).

5. Формула n -го члена геометрической прогрессии

( )

6. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

()

7. Какие формулы вы еще знаете?

(, где ; ;

; , )

Задания

1. Арифметическая прогрессия задана формулой a_n = 7 – 4n. Найдите a₁₀. (-33)

2. В арифметической прогрессии a₃ = 7 и a₅ = 1. Найдите a₄. (4)

3. В арифметической прогрессии a₃ = 7 и a₅ = 1. Найдите a₁₇. (-35)

4. В арифметической прогрессии a₃ = 7 и a₅ = 1. Найдите S₁₇. (-187)

5. Для геометрической прогрессии найдите пятый член.

6. Для геометрической прогрессии найдите n -й член.

7. В геометрической прогрессии b₃ = 8 и b₅ = 2. Найдите b₄. (4)

8. В геометрической прогрессии b₃ = 8 и b₅ = 2. Найдите b₁ и q.

9. В геометрической прогрессии b₃ = 8 и b₅ = 2. Найдите S₅. (62)

III. Изучение новой темы (демонстрация презентации).

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.

Например, последовательность площадей квадратов:

. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.

при .

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Фронтальная работа.

Определение:

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. .

С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Задача

Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:

; .

Решение:

. Найдем q.

; ; ; .

данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: