Домашнее задание. Выполните задание

Уровень 1.

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = - 3, q = 2.

2. Первый член геометрической прогрессии (b_n) равен 2, а знаменатель 3. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 24, 12, 6, ……

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную дробь 0,(27).

Уровень 2.

1. Найдите шестой член геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = 0,81, q = .

2. Второй член геометрической прогрессии (b_n) равен 21, а четвёртый равен 189. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии, если все члены прогрессии положительны.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии - 40, 20, - 10, ……

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную дробь 0,5(6).

Уровень 3.

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = 729, q = .

2. Третий член геометрической прогрессии (b_n) равен 3,6, а пятый равен 32,4. Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии, если все члены прогрессии положительны.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -54, 18, - 6, ……

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную дробь 0,7(4).

 

Урок по теме " Уравнение касательной в общем виде"

Практическая работа.

Опорный конспект:
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе. Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе <рисунок 1>.
2) Аналогично, прямая x = π не является касательной к графику y = cos x, хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида; (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика <рисунок 2>.

Рисунок 1

Рисунок 2

Постановка цели и задачи перед детьми на уроке: выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?
Что нам для этого понадобиться?
Вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной, правила дифференцирования.

III Подготовительная работа к изучению нового материала.
Опрос материала по карточкам: (задания выполняются на доске)
1 ученик: заполнить таблицу производных элементарных функций

2 ученик: вспомни правила дифференцирования

3 ученик: составьте уравнение прямой y = kx + 4, проходящей через точку А(3; -2).
(y = -2x+4)

4 ученик: составьте уравнение прямей y = 3x + b, проходящей через точку С(4; 2).
(y = 3x – 2).

С остальными фронтальная работа.

1. Сформулируйте определение производной.
2. Какие из указанных прямых параллельны? у = 0,5х; у = - 0,5х; у = - 0,5х + 2. Почему?

Отгадай фамилию учёного

Ключ к ответам

Кем был этот учёный, с чем связаны его работы, мы узнаем на следующем уроке.
Проверка ответов учащихся по карточкам.
Начнём с углового коэффициента

Рисунок 3

Рассмотрим график функции y = f(x) дифференцируемой в точке А (x₀, f(x₀)) <рисунок 3>.
Выберем на нём точку M (x₀ + Δх, f(x₀+ Δх)) и проведем секущую AM.
Вопрос: чему равен угловой коэффициент секущей? (∆f/∆x=tgβ)

Будем приближать по дуге точку M к точке A. В этом случае прямая AM будет поворачиваться вокруг точки A, приближаясь (для гладких линий) к некоторому предельному положению - прямой AT. Другими словами < TAM → 0 если длина АМ → 0. Прямую AT, обладающую таким свойством, называют касательной к графику функции y = f(x) в точке А(x ₀, f(x₀)). <слайд 12>

Угловой коэффициент секущей AM при AM → 0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT Δf/Δx → f '(x₀). Значение производной в точке х₀ примем за угловой коэффициент касательной. Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при ∆х → 0.

Существование производной функции в точке x ₀ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (x ₀, f(x ₀)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f '(x₀). В этом состоит геометрический смысл производной. <слайд 13>

Определение касательной: <слайд 14> Касательная к графику дифференцируемой в точке х₀ функции f — это прямая, проходящая через точку (x₀, f(x₀)) и имеющая угловой коэффициент f '(х₀).
Проведем касательные к графику функции y = f(x) в точках х₁, х₂, х₃, <рисунок 4> и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направ­лении от положительного направления оси до прямой.)

Рисунок 4

Мы видим, что угол α₁ острый, угол α₃ тупой, а угол α₂ равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого — отрицателен. Поэтому f '(х₁)>0, f '(х₂) = 0, f '(х₃) < 0.

• Выведем теперь уравнение касательной <слайд 17, 18> к графику функции f в точке А(x₀, f(x₀)).

Общий вид уравнения прямой y = kx + b.

1. Найдём угловой коэффициент k = f '(х₀), получим y = f '(х0)∙x + b, f(x) = f '(х₀)∙x + b
2. Найдём b. b = f(x₀) - f '(х₀)∙x₀.
3. Подставим полученные значения k и b в уравнение прямой: y = f '(х ₀ )∙x + f(x ₀ ) - f '(х ₀ )∙x ₀ или y = f(x ₀ ) + f '(х ₀ )(x - x ₀ )

• Обобщение материала лекции.

- что называется касательной к графику функции в точке?
- в чём заключается геометрический смысл производной?
- сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

1. Значение функции в точке касания
2. Общую производную функции
3. Значение производной в точке касания
4. Подставить найденные значения в общее уравнение касательной.