double arrow

V Закрепление изученного материала.

1. Устная работа:
1) В каких точках графика <рисунок 5> касательная к нему
а) горизонтальна;
б) образует с осью абсцисс острый угол;
в) образует с осью абсцисс тупой угол?
2) При каких значениях аргумента производная функции, заданной графиком <рисунок 6>
а) равна 0;
б) больше 0;
в) меньше 0?

Рисунок 5   Рисунок 6

3) На рисунке изображён график функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f '(x) в точке x0 <рисунок 7>.


Рисунок 7

Письменная работа.
Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 3x – 1 в точке М с абсциссой –2.
Решение:

  1. Вычислим значение функции: f(-2) =(-2)3 – 3(-2) – 1 = -3;
  2. найдём производную функции: f '(х) = 3х2 – 3;
  3. вычислим значение производной: f '(-2) = - 9.;
  4. подставим эти значения в уравнение касательной: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15.

Ответ: y = 9x + 15.

2. По ординате точки касания.
Составить уравнение касательной в точке графика с ординатой y 0 = 1.
Решение:

  1. Найдем абсциссу точки касания: , х 0 = 1.
  2. Найдём производную функции: f '(х) = .
  3. Найдем угловой коэффициент касательной f '(х0): f '(1)= - 1
  4. Теперь можно записать уравнение касательной: y = –1(x – 1) + 1 = –x + 2.

Ответ: y = –x + 2.

3. Заданного направления.
Написать уравнения касательной к графику y = x3 – 2x + 7, параллельной прямой у = х.
Решение.
Искомая касательная параллельна прямой y = x. Значит, они имеют один и тот же угловой коэффициент k = 1, y'(х) = 3х2 – 2. Абсцисса х 0 точек касания удовлетворяет уравнению 2 – 2 = 1, откуда х 0 = ±1.
Теперь можно написать уравнения касательных: y = x + 5 и y = x + 9.
Ответ: y = x + 5, y = x + 9.

4. Условия касания графика и прямой.
Задача. При каких b прямая y = 0,5x + b является касательной к графику функции f(х) = ?
Решение.
Вспомним, что угловой коэффициент касательной – это значение производной в точке касания. Угловой коэффициент данной прямой равен k = 0,5. Отсюда получаем уравнение для определения абсциссы x точки касания: f '(х) = = 0,5. Очевидно, его единственный корень –х = 1. Значение данной функции в этой точке у(1) = 1. Итак, координаты точки касания (1; 1). Теперь остается подобрать такое значение параметра b, при котором прямая проходит через эту точку, то есть координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: 1 = 0,5 ·1 + b, откуда b = 0,5.

Проверка: результаты решения заносятся в таблицу на доске (от каждой пары один ответ), обсуждение ответов.

5. Нахождение угла пересечения графика функции и прямой.  
Углом пересечения графика функции y = f(x) и прямой l называют угол, под которым в этой же точке прямую пересекает касательная к графику функции.

6. Самостоятельная работа контролирующего характера.
1 вариант.

  1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)= х3+ 27 в точке х0 = -3.
  2. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 = 3. Выполните рисунок.
  3. Выясните, является ли прямая у = 0,5х + 0,5 касательной к графику функции у = .





















Вариант.

  1. В каких точках касательная к графику функции f(x) = 3х2 - 12х + 7 параллельна оси х?
  2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)= х2 - 4 в точке с абсциссой х0 = - 2. Выполните рисунок.
  3. Выясните, является ли прямая у = 12х – 10 касательной к графику функции у = 4х3.

Вариант.

  1. В какой точке графика функции у = . касательная наклонена к оси абсцисс под углом 60°?
  2. Составьте уравнение касательной к графику функции , параллельно прямой у = 3х.
  3. Выясните, является ли прямая у = х касательной к графику функции у = sin x.

 


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: