Основные теоремы теории вероятности

ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ

ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ

Методические указания

к практическим занятиям по курсу

«НАДЕЖНОСТЬ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ»

 

Санкт-Петербург

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2018

Оценка надежности электрооборудования: Методические указания к практическим занятиям по курсу «Надежность электротехнического оборудования»/ Сост.: Г. В. Комарова, С. А. Круглов. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2018. 24 с.

Содержат материалы по расчету показателей надежности электротехнических оборудования и систем с использованием теории вероятностей и математической статистики.

Методические указания предназначены для бакалавров и магистров направления «Электроэнергетика и электротехника».

 

 

Утверждено

редакционно-издательским советом университета
в качестве методических указаний

 

 

                                                                   ©СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2018

Надежность является важнейшим технико-экономическим показателем качества любого технического устройства и электротехнических систем.

Расчет надежности стал обязательным инженерным расчетом на всех этапах разработки, создания и использования электротехнического оборудования.

Оценка и расчет надежности базируются на теории вероятностей и методах математической статистики. В результате расчета получаются количественные значения показателей надежности исследуемого объекта.

Данные методические указания могут быть использованы для решения задач на практических занятиях по курсу «Надежность электротехнического оборудования» и для выполнения заданий по расчету надежности основных узлов электромеханических преобразователей.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятности сложных событий можно вычислять с помощью более простых вероятностей, пользуясь двумя основными правилами теории вероятностей: правилом сложения вероятностей и правилом умножения вероятностей, которые часто называют основными теоремами теории вероятностей.

События A и B несовместны, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. События образуют полную группу, если в результате опыта непременно произойдет хотя бы одно из них.

Если события несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:

.

Условной вероятностью события A при наличии события B (обозначается ) называется вероятность события A, вычисленная при условии, что событие В произошло. Суммой событий A и B называется событие, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из этих событий. Тогда правило сложения вероятностей может быть записано следующим образом.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

,

где  – вероятность совместного появления событий A и B.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

,

Произведением событий A и Bназывается событие, состоящее в совместном выполнении этих событий.

Вероятность произведения двух событий A и B равна произведению вероятности одного из них (например, A) и условной вероятности другого при наличии первого:

,

или, если в качестве первого события взять В,

,

Для независимых событий правило умножения вероятностей принимает вид

.

Следствием правил сложения и умножения вероятностей является теорема о повторении опытов, состоящая в следующем. Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью р, то вероятность того, что в данной серии опытов событие Aпоявится ровно т раз, выражается формулой

или обозначая ,

,

где .

Вероятность того, что в серии из п независимых опытов событие Aпоявится не менее т раз, выражается формулой

Если об обстановке опыта можно сделать п исключающих друг друга предположений (гипотез) и событие A может появиться только вместе с одной из этих гипотез, то полная вероятность события

где  –вероятность гипотезы ,  – условная вероятность события А при этой гипотезе.

Вероятность события A, которое может произойти вместе с одной из гипотез , образующих полную группу несовместных событий, равна сумме произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события A при этой гипотезе.

Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события:

Формула, называемая формулой Бейеса, позволяет пересмотреть возможности гипотез с учетом полученного результата опыта.

Пример 1.1. Устройство работает в двух режимах: номинальном и с перегрузкой. Номинальный режим наблюдается в 90 % всех случаев работы, с перегрузкой - в 10 %. Вероятность выхода устройства из строя в номинальном режиме равна 0.2, в режиме с перегрузкой 0.7. Найти полную вероятность Р отказа устройства.

 

Решение. Имеется две гипотезы:  - номинальный режим;  - режим с перегрузкой. Вероятности этих гипотез ; . Тогда полная вероятность события А (отказ устройства):

Пример 1.2. Вероятность того, что устройство удовлетворяет стандарту равна 0.96. Предлагается система испытаний, которая для устройств, удовлетворяющих стандарту, дает положительный результат с вероятностью 0.98, а для устройств, ему не удовлетворяющих, - с вероятностью 0.05. Какова вероятность того, что устройство, дважды выдержавшее испытание, удовлетворяет стандарту?

Решение. Имеется две гипотезы: устройство удовлетворяет стандарту - не удовлетворяет стандарту - . . При первой гипотезе вероятность того, что устройство выдержит испытание  = 0.98, а при второй -  = 0.05.

После двукратного опыта вероятность первой гипотезы

Пример 1.3. Техническое устройство состоит из 5 узлов; каждый узел за время эксплуатации выходит из строя с вероятностью q= 0.2. Отдельные узлы отказывают независимо друг от друга. Если откажет более двух узлов, устройство не может работать; если откажет 1 или 2 узла, оно работает, но с пониженной эффективностью.

Найти вероятности событий:

А - работают все узлы;

В- устройство может работать;

С- устройство работает с пониженной эффективностью.

Решение:

;

,

где ;

.