Угловое ускорение, которое приобретает тело, пропорционально суммарному моменту приложенных сил и обратно пропорционально моменту инерции тела

Векторная величина L, равная произведению момента инерции I на угловую скорость ω, называется моментом импульса

L = I ·ω

Направления векторов L и ω совпадают.

Наиболее общий вид основного уравнения динамики вращательного движения: скорость изменения момента импульса вращающегося тела определяется суммарным моментом сил, действующих на это тело

Зная момент инерции I ₀ данного тела относительно оси 00, проходящей через центр масс, можно по теореме Гюйгенса — Штейнера найти момент инерции I этого тела относительно оси, параллельной данной оси 00

I = I ₀ + md²,

где d — расстояние между осями и m — масса тела.

Закон сохранения момента импульса

Если суммарный момент внешних сил, действующих на тело или систему тел, равен нулю (ΣМ ⁼ 0), то из формулы следует, что

Такимобразом, если сумма моментов внешних сил равна нулю, то момент импульса системы не изменяется со временем. В этом состоит закон сохранения момента импульса. Например, фигурист на льду может изменять скорость своего вращения, меняя положение рук и ног, то есть, меняя момент инерции. Этим же приемом пользуются спортсмены при прыжках в воду и акробатических упражнениях, связанных с вращением в воздухе. Сила тяжести в этих примерах вращающего момента не создает, ибо приложена к центру масс, через который проходит свободная ось вращения.

Законы сохранения момента импульса, импульса и энергии играют огромную роль в природе и в науке. Они не теряют своего значения и тогда, когда законы Ньютона перестают быть справедливыми. Их можно применять и к обычным телам, и к микрочастицам, и к телам космических размеров. В природе не наблюдается явлений, в которых бы не выполнялся какой-либо из законов сохранения. Универсальность этих законов делает их незаменимыми в решении многих практических и теоретических задач.

 

3 Работа, мощность, энергия

 

Формы движения материи весьма разнообразны — механическое перемещение тел, тепловое движение частиц вещества, ядерные и биологические процессы, химические реакции и т. д. Движение в любой его форме — неотъемлемое свойство материи. Универсальной количественной мерой различных форм движения материи является энергия.

В соответствии с различными формами движения материи говорят о разных- видах энергии — механической, внутренней, ядерной и т. д. В процессе взаимодействия тел формы движения материи могут изменяться; при этом изменяется и вид энергии. Так, тела при трении нагреваются: их механическая энергия переходит во внутреннюю. Изменение вида энергии обусловлено действием на тело сил и связано с совершением работы.

Работа, совершаемая постоянной силой F при перемещении тела на прямолинейном участке пути s, равна произведению проекции силы F_s (на направление перемещения) и модуля перемещения s

где α — угол между векторами силы F и перемещения s. Единицей работы в СИ является джоуль: 1Дж = 1Н·1м.

В общем случае движения тела по криволинейной траектории под действием переменной силы F  сначала находят элементарную работу dA на малом перемещении ds, на котором модуль и направление силы можно считать неизменными, а траекторию прямолинейной:

dA = F_s ds.

Полная работа переменной силы находится как интеграл от элементарной работы по всей траектории l:          .

Быстрота совершения работы характеризуется мощностью ,

P = F · u ·cosα.

Единицей измерения мощности является ватт, 1 Вт =1Дж/с

Кинетическая и потенциальная энергия. Полная энергия тела

Понятия энергии и работы неразрывно связаны между собой, ибо энергия тела (системы тел) характеризует его способность совершать работу. Иначе говоря, работа является количественной мерой изменения энергии тела (системы тел) при переходе его из одного состояния в другое.

В механике различают два вида энергии — кинетическую энергию W _k (энергия движения) и потенциальную энергию W _p (энергия взаимодействия). Сумма W _k + W _p = W есть полная механическая энергия тела (системы тел).

Нетрудно установить связь между изменением кинетической энергии W _k и работой А силы F_s, изменяющей скорость тела от u ₁ до u ₂. Так как элементарная работа силы F_s на пути ds равна:

то

Работа результирующей силы равна приращению кинетической энергии тела. Для элементарной работы можно записать:

Кинетическая энергия тела измеряется той работой, которую это тело может совершить до полной остановки. В любом случае W_k > 0. Единицы измерения энергии совпадают с единицами работы.

Потенциальной называется энергия, зависящая от взаимного расположения взаимодействующих тел или частей одного тела (конфигурации системы). Потенциальная энергия тесно связана с существованием силовых полей (гравитационного, электрического и др.).

Если состояние системы изменяется под действием только консервативных сил, то работа А _1®2 этих сил зависит лишь от начальной 1 и конечной 2 конфигураций системы. Это означает, что работа А _1®2 определяется изменением потенциальной энергии системы:

где W_{p l} и W_{р 2} — значения потенциальной энергии, соответствующие конфигурациям 1 и 2. Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии. Для элементарной работы это записывается так:

Потенциальная энергия может быть определена с точностью до произвольной постоянной С, значение которой не изменяет разности W_{p l} - W_{р 2}, или величины dW _p. Поэтому в каждом конкретном случае выбирают «нулевую» конфигурацию системы, в которой потенциальная энергия принимается равной нулю (нулевой уровень отсчета W _p). Следовательно, потенциальная энергия равна работе консервативных сил при переходе системы из данной конфигурации в «нулевую». Так, для тела массой m, поднятого над поверхностью Земли "(нулевой уровень) на высоту h, потенциальная энергия выражается формулой

Универсальной формулы для расчета потенциальной энергии нет; ее вид определяется характером взаимодействия тел (частей тела) и их расположением. Так, потенциальная энергия тела, находящегося под действием сил упругости, выражается формулой

Энергия не может существовать сама по себе, в отрыве от материального носителя — вещества, поля. Существует глубокая и неразрывная связь между материей и движением.

Закон сохранения энергии в механике

Если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, то работа dA этих сил при изменении конфигурации системы сопровождается изменением кинетической и одновременно равным ему по модулю, но противоположным по знаку изменением потенциальной энергии системы:

dA = dW_k = —dW_p.

Отсюда

dW_k + dW_p=d(W_k + W_p) = 0, или

W = W_k + W_p = const.

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, в которой действуют только консервативные силы, не изменяется со временем

Кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетических энергий его частиц:

Так как u = const, то

где I — момент инерции тела относительно оси вращения.

Если тело массой m одновременно участвует в поступательном и вращательном движениях (например, катящееся колесо), то выражение для кинетической энергии имеет вид:

 

где u — скорость центра масс, ω и I — угловая скорость и момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс.

Литература: Т.И. Трофимова Курс физики. М. 1990 с. 14-50

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ