Гармонические колебания

Колебаниями называются процессы, характерной особенностью которых является повторяемость. Это могут быть качания маятников и сооружений, тепловые колебания ионов в кристалличе­ской решетке, ритмичные сокращения сердца и т. д. Колебания любой природы подчиняются общим законам. Особое значение имеют периодические колебания, в процессе которых система возвращается в исходное состояние через равные промежутки времени Т. Длитель­ность этих промежутков времени называется периодом колебания. Величина

v = N/t,

показывающая, сколько раз в секунду повторяется колебание, называется частотой и измеряется в герцах.

Простейшими колебаниями являются гармонические, происходящие по закону косинуса (или синуса):

х = A cos (w₀t + j₀),                 

где х — величина, периодически меняющаяся во времени, А — модуль

ее максимального значения (амплитуда), t — время, w₀ -циклическая частота. Величина j = w₀t + j₀ называется фазой колебания, а j₀ — начальной фазой колебания (j  = j₀ при t = 0). За время, равное периоду Т, фаза колебания изменяется на 2л.

Физическая система, совершающая колебания около положения равновесия, называется также осциллятором. Простейший гармонический осциллятор — материальная точка, совершающая гармонические колебания вдоль прямой.

Гармонические колебания совершает, например, груз, подвешенный на невесомой пружине (рис.). Его движение можно свести к движению материальной точки — центра масс груза. В этом случае х — смещение точки от положения равновесия.

Скорость v и ускорение а гармонического осциллятора можно найти, взяв первую, а затем вторую производную от х по времени. Величины х, v и а изменяются гармонически во времени с одинаковой частотой, но сдвинуты друг относительно друга по фазе: скорость опережает смещение на p/2, а ускорение опережает смещение на p (рис.).

Cила, вызывающая гармонические колебания, пропорциональна смещению и всегда направлена к положению равновесия. Такой силой является, в частности, сила упругости. Силы, неупругие по природе, но удовлетворяющие условию F = —kx, называются квазиупругими. Тело может совершать гармонические колебания, если на него действует упругая или квазиупругая сила.

Колебания системы, выведенной из положения равновесия и далее предоставленной самой себе, называются свободными.

Замечательной особенностью гармонических свободных колебаний является независимость их частоты от амплитуды. Частота w₀ определяется только свойствами самой системы — ее массой m и коэффициентом k. Большинство колебаний с малой амплитудой (малые колебания) являются гармоническими.

При гармонических колебаниях материальной точки происходят периодически взаимные превращения кинетической W_k и потенциальной W_p энергии.

и потенциальная кривая является параболой (рис). Это потенциальная яма, дно которой соответствует положению равновесия О

Величина полной энергии гармонического осциллятора массой т в любой момент времени равна сумме его кинетической и потенциальной энергии:

w = w_k + w_p,

Полная энергия осциллятора пропорциональна его массе m, квадрату амплитуды A² и квадрату частоты w²₀.

Колебания остаются гармоническими, если не происходит рассеяния энергии. В реальных системах, однако, всегда имеются силы сопротивления, приводящие к затуханию колебаний и рассеянию энергии.

На груз подвешенный на пружине (пружинный маятник) действует сила упругости, которая сообщает грузу ускорение

- kx = ma = mx².

Отсюда  то есть , где . Решением этого уравнения является уравнение гармонических колебаний. Период колебаний пружинного маятника равен      .

Любое твердое тело, имеющее ось вращения, которая не проходит через центр масс, является физическим маятником. Для такого тела основное уравнение динамики вращательного движения для малых углов отклонения от положения равновесия j запишется в виде

- mg l j = Ie,

где - mgj – момент силы тяжести, I – момент инерции тела, e – угловое ускорение, l – расстояние от оси вращения до центра масс тела. Это уравнение можно представить в виде

;

,

где . Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Период колебаний .

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, то есть частный случай физического маятника. Учитывая, что для материальной точки I = m l ², получим

.

При действии на колеблющееся тело вязкой силы трения – k₁u = – k₁x¢, где k₁ – коэффициент сопротивления, u – скорость движения, можно дифференциальное уравнение движения представить в виде

,

где b =  – коэффициент затухания. Решение этого уравнения запишется

Вынужденные колебания. Резонанс

Если на колебательную систему действует внешняя периодическая сила F = F_mcos wt (где F_m — ее амплитудное значение), то в системе через некоторое время установятся вынужденные колебания с частотой, равной частоте колебаний внешней силы. Вынужденные колебания являются гармониче­скими. Их амплитуда зависит от того, насколько собственная частота w₀ системы отлича­ется от частоты w колебаний внешней силы. При приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы амплиту-

да А вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом. Амплитуда при резонансе достигает максимальных значений. Резонанс наступает при частоте w_р, немного меньшей, чем w₀ (трение «замедляет» колебания). На рисунке показан вид резонансных кривых (зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты).