Работа над изучаемым материалом

3.1. Объяснение нового материала.

Определение 1. Последовательностей (y_n) называют ограниченной сверху, если существует такое число М, что для любого n  N выполняется неравенство  М.

 

Определение 2. Последовательность (у_n)называют ограниченной снизу, если существует  такое число m, что для любого n   .

Если последовательность ограничена  cверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью.

Пример 1.

Дана числовая последовательность: 1,  Определите, является ли она ограниченной?

Решение. Максимальное значение, которое может принимать эта числовая последовательность это 1; а минимальное – 0. Значит эта числовая последовательность ограниченная.

Определение 3. Последовательность (y_n) называют возрастающей, если каждый её элемент (кроме первого) больше предыдущего:

Пример 2. Возрастающая последовательность 2, 4, 6, 8, 10,....

.. Последовательность (y_n) называют убывающей, если каждый её элемент (кроме первого) меньше предыдущего:

Пример 3.

Исследовать на ограниченность последовательность

y_n= +

Решение.

y₁= , y₂= y₃= и т.д. Эта последовательность ограничена снизу. Наименьший элемент - этой последовательности y₁= .

Ответ: последовательность ограничена снизу.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином –монотонные последовательности. Например,  1, 4, 9, 16, 25,...,n² ,... и 1,  ...-многоточие последовательности, а последовательность 1,- , - ,...,(-1)^n-1

Если функция y = f(x) возрастает (убывает) на луче , то последовательность y_n = f(n) – возрастающая (убывающая).

Пример 4. Исследовать на монотонность последовательность y_n= .

Решение.

Выпишем n-й и (n+1)-й члены последовательности: y_n= , y_n+1=  . Найдём их разность

y_n+1 - y_n =  -  = Для любых значений n y_n+1 – y_n, значит последовательность убывает.

 

 

Вариант 3.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если последовательность имеет вид: , ,.... 

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y₁=1, y₂=1, y_n=2y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 2,5 и разностью 0,7.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 7,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₆= 150, a₆= 141. Найдите номер первого отрицательного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии           

-14,1; -13,4;....

7. Дана последовательность y_n=12n + 8 - 2,5n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

В) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

 

Вариант 4.

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (y_n), если последовательность имеет вид: 2, 5, 8, 11, 14, 17,.... 

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y₁=2, y₂=1, y_n=y_n-2+y_n-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 2,5 и разностью 0,7.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 2,5 и знаменателем -

5. В арифметической прогрессии a₅= -145, a₆= -130. Найдите номер первого положительного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии        17,3; 15,4....

7. Дана последовательность y_n=-2n -3 - n².

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

 

Урок