Сходящиеся последовательности. Предел последовательности

Цель урока: учащиеся должны знать, что собой представляет сходящаяся последовательность, какими свойствами она обладает, что такое предел последовательности.

Устный опрос.

1. Что такое числовая последовательность?

2. Какими свойствами обладает числовая последовательность?

3. Когда последовательность бывает ограниченна сверху? когда снизу?

4. Что такое монотонная последовательность?

1.

Работа над изучаемым материалом.

Объяснение нового материала.

Рассмотрим две числовые последовательности - (y_n), (x_n).

(x_n):  1, 3, 5, 7, 9, 11,...;

(y_n):  1, ...  ,....

x_n

 

          0 1   3   5   7    9  11     

 

y_n

 

          0                                                  

 

Члены последовательности(y_n) сгущаются около точки 0 - говорят, что эта последовательность сходится к точке 0. У последовательности (x_n) такой точки сгущения нет – эта последовательность расходится.

Сходящаяся последовательность имеет предел.

Определение. Число b называют пределом последовательности (y_n), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

В математике это обозначается так: y_n  b или так: .

Пример 1. Найти предел последовательности ,

Решение. Последовательность сходится к 0.

или = 0.

,

Свойства сходящихся последовательностей.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится (теорема Вейештрасса).

Урок