При координатном способе задания движения

КИНЕМАТИКА

Кинематика – раздел механики, в котором изучаются движение материальных тел с геометрической точки зрения, без учета массы и действующих на них сил.

 

В процессе исторического развития теоретической механики кинематические исследования долгое время (до XIX в.) не отделялись от вопросов динамики. Однако развитие техники машиностроения привело к необходимости выделения кинематики в особый раздел теоретической механики, и при этом кинематика стала теоретической основой теории механизмов и машин.

 

В теоретической механике изучается только механическое движение, т. е. происходящее с течением времени изменение положения одного тела по отношению к другому телу, с которым неизменно связана какая-нибудь система осей координат, называемая системой отсчета.

 

Систему отсчета можно связать с любым телом. Эта система может быть как условно неподвижной, так и движущейся.

 

Если координаты всех точек тела в выбранной системе отсчета остаются все время постоянными, то тело по отношению к этой системе отсчета находится в покое.

 

 Если же координаты точек тела с течением времени изменяются, то тело по отношению к выбранной системе отсчета находится в движении.

 

По отношению к различным системам отсчета точка или тело может совершать различные движения или находиться в покое. В этом смысле покой и движение точки или тела относительны и зависят от выбранной системы отсчета.

 

Для описания движения точки или тела нужно не только выбрать систему отсчета, но и установить способ определения времени, соответствующего тому или иному положению движущейся точки или движущегося тела в выбранной системе отсчета.

 

Время в теоретической механике считается универсальным (абсолютным), т. е. протекающим одинаково во всех рассматриваемых системах отсчета и не зависящим от движения одной системы по отношению к другой. При этом время рассматривается как непрерывно изменяющаяся скалярная величина t, играющая роль независимой переменной (аргумента).

 

Для измерения времени используются периодические процессы, данные природой (например, вращение Земли вокруг своей оси), либо периодические процессы, создаваемые искусственно (например, колебания маятника в маятниковых часах). За единицу времени обычно принимается одна секунда (1 сек).

 

Первоначально секунда была определена как интервал времени, 1/24·3600 части средних (за год) солнечных суток.

Однако это определение секунды обладает существенным недостатком. Как показали наблюдения, суточное вращение Земли вокруг своей оси, на котором основано определение средних солнечных суток, подвержено колебаниям, закономерности которых пока еще не установлены и учету не поддаются. Возникшая в связи с этим неточность с определением секунды привела к необходимости искать другой эталон единицы времени, не связанный с суточным вращением Земли.

 

В международной системе единица времени одна секунда (1 сек) определена как интервал времени, равный 1/31556925,9747 части тропического года для 1900 г.

 

Это новое определение секунды устраняет погрешность прежнего определения. Но для современных научных и технических целей такое определение секунды все-таки не является достаточно точным. Поэтому в дальнейшем предполагается провести работы для создания еще более совершенного эталона времени на базе использования колебаний атомов и молекул.

 

Отсчет времени ведется от некоторого начального момента   (t = 0), о выборе которого в каждом случае уславливаются. Всякий данный момент времени t определяется числом секунд, прошедших от начального до данного момента.

 

При этом момент времени считается положительным, если он следует за начальным, и отрицательным, если он предшествует начальному.

 

Число секунд, определяющих два каких-либо последовательных момента времени t ₁ и t ₂, называется промежутком времени (D t= t ₂ – t ₁ ).

 

Всякое твердое тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Разные точки движущегося тела могут совершать, различные движения относительно выбранной системы отсчета.

 

Для того чтобы полностью определить движение какого-либо твердого тела относительно выбранной системы отсчета, нужно знать движение каждой его точки относительно той же системы отсчета.

 

Поэтому, прежде всего необходимо установить основные положения кинематики точки, а затем перейти к изучению кинематики твердого тела.

 

 

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

 

В кинематике точки рассматриваются следующие две основные задачи:

1) Установление математических способов задания (описания) движения точки по отношению к данной системе отсчета;

Определение по заданному закону движения точки всех кинематических характеристик этого движения (траектории, скорости, ускорения и т. п.).

 

Изучить кинематические движение точки относительно выбранной системы отсчета – это значит определить ее траекторию за данный промежуток времени, а также скорость и ускорение в каждый данный момент времени.

 

Движение точки считается заданным, если указан способ, позволяющий определить положение точки в каждый момент времени относительно выбранной системы отсчета.

 

Способы задания движения точки:

Естественный,

Координатный,

Векторный.

 

Векторный способ применятся главным образом при исследовании теоретических вопросов, а координатный и естественный употребляется преимущественно при решении различных практических задач.

 

Траектория точки – непрерывная кривая, которую описывает точка при своем движении.

 

 

 

Естественный способ указывается траектория точки, закон ее движения по этой траектории, начало и направление отсчета дуговой координаты:

S = f (t) – закон движения точки.

При прямолинейном движении: х = f (t).

 

Координатный способ положение точки в пространстве определяется тремя координатами, изменения которых определяют закон движения точки:

x = f ₁(t),   y = f ₂(t), z = f ₃(t).

 

Если движение в плоскости, то два уравнения движения. Уравнения движения описывают уравнение траектории в параметрической форме. Исключив из уравнений параметр t, получаем уравнение траектории в обычном виде: f (x,y) = 0 (для плоскости).

 

Векторный способ положение точки определяется ее радиус-вектором , проведенным из какого-либо центра. Кривая, которая вычерчивается концом какого-либо вектора, называется годографом этого вектора. Т.е. траектория – годограф радиус-вектора.

 

 

Связь между координатным и векторным способами:

,

где  – орты – единичные вектора, сонаправленные с какой-либо осью)

Модуль

,

направляющие косинусы:

.

 

Переход от координатного способа к естественному:

.

Скоростью точки называется векторная величина, характеризующая быстроту и направление перемещения точки.

 

При векторном способе задания движения, вектор скорости:

Первая производная от радиус-вектора по времени (точка обозначает производную по времени);

 

 

Вектор, равный отношению вектора перемещения точки  к промежутку времени , называется средней скоростью за промежуток времени    

 

.

 

При координатном способе задания движения

.

 

Проекции скорости:

, , .

 

Модуль скорости:

.

Направляющие косинусы:

                       и т.д.

 

Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то движение называется равномерным.

 

При естественном способе:

– модуль скорости

,

вектор скорости из определения скорости точки

– орт касательной, т.е. скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Если V > 0, то движение происходит в сторону положительного отсчета дуговой координаты и наоборот.

 

Движение в полярной системе координат:

r = r(t) – полярный радиус, j = j(t) – угол.

 

Полярная система координат на плоскости задается точкой, которая называется полюсом, и лучом, который называется полярной осью.

Координатами точки в полярной системе координат являются расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус-вектором этой точки. Этот угол называется полярным углом.

 

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси:

x = r· cosj, y = r· sinj.

 

 

 

Проекции скорости на радиальное направление

,

Поперечное (трансверсальное) направление

,

модуль скорости

.

Ускорение точки

 

При векторном способе задания движения

, [м/сек²].

 

При координатном способе задания движения

.

 

Проекции ускорения:

, , .

 

Так как

, , ,

то

, ,

 

Модуль скорости:

.

 

Направляющие косинусы:  и т.д.

 

При задании движения в полярных координатах: проекции ускорения на радиальное направление

,

поперечное (трансверсальное) направление

,

модуль ускорения

.

Радиальное и трансверсальное ускорения могут быть как положительными, так и отрицательными (на рисунке показан случай, когда радиальное ускорение положительное, а трансверсальное - отрицательное).

 

При естественным способе задания движения полное ускорение раскладывают на нормальное и касательное (тангенциальное) ускорения:

.

Из определения ускорения точки

определяется только свойствами траектории в окрестности данной точки, при этом

 

Модуль нормального ускорения:

,

r – радиус кривизны траектории, нормальное ускорение направлено по нормали к траектории (^ к касательной) всегда к центру кривизны, т.е. в сторону вогнутости.