Угловое ускорение при вращении тела

 

Угловым ускорением называют степень изменения угловой скорости.

 

За вектор углового ускорения ε при вращении тела вокруг неподвижной точки принимают вектор, который характеризует изменение угловой скорости ω в данный момент как по числовой величине, так и по направлению.

 

Такой характеристикой является производная по времени от вектора угловой скорости ω. Таким образом, угловое ускорение определяется так:

 

В общем случае угловое ускорение не направлено по мгновенной оси, а, как производная по времени от вектора ω, параллельно касательной к годографу этого вектора.

 

Условимся угловое ускорение ε изображать в любой точке прямой, параллельной этой касательной годографа угловой скорости u, но проходящей через неподвижную точку тела.

 

Прямая, по которой направлен вектор углового ускорения, называется осью углового ускорения и обозначается E.

 

СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ

СФЕРИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ

 

Скорости точек твердого тела, совершающего сферическое движение, в каждый момент времени определяются как их вращательные скорости при вращении вокруг мгновенной оси Ω (рисунок).

 

 

Зная положение мгновенной оси вращения Ω и угловую скорость тела ω, можно определить скорость любой точки тела M как скорость этой точки во вращательном движении вокруг мгновенной оси по известной формуле

 

ν = ω × r

где

r — радиус-вектор точки M, проведенный из неподвижной точки O.

 

 

Модуль скорости

 

ν = ωr sin γ = ωh_Ω

где h_Ω — расстояние точки от мгновенной оси вращения.

 

Введем подвижную Oxyz и неподвижную Ox₁y₁z₁ системы координат.

 

Для проекций скорости точки на неподвижные и подвижные оси получены формулы Эйлера:

 

для неподвижной системы координат

 

 

 

для подвижной системы координат

 

 

Из формул приведенных выше можно получить уравнения мгновенной оси в неподвижной и подвижной системах координат, положив для точек, лежащих на мгновенной оси, все проекции скорости равными нулю.

Для неподвижной системы координат:

 

Модуль угловой скорости тела вокруг мгновенной оси

 

 

 Через проекции на неподвижные оси координат:

 

Если положение мгновенной оси Ω уже установлено, то для нахождения угловой скорости ω достаточно знать скорость V какой-либо точки M, не лежащей на мгновенной оси.

 

Тогда, опустив из этой точки перпендикуляр h_Ω на мгновенную ось Ω, получим ν = ω⋅ h_Ω, откуда

ω = ν / h_Ω.

 

 

Для определения ускорения точки твердого тела служит теорема Ривальса: ускорение любой точки твердого тела при сферическом движении определяется как геометрическая сумма ее вращательного и осестремительного ускорений

 

a = a _E^вр + a _Ω^ос

где

 

a _E^вр = ε × r — вращательное ускорение точки,

a _Ω^ос = ω × ν — осестремительное ускорение точки.

Модули этих ускорений

 

a _E^вр = h_Eε и a _Ω^ос = h_Ωω²

где

h_E — расстояние от точки до оси углового ускорения E,

h_Ω — расстояние от точки до мгновенной оси Ω.

 

Модуль ускорения точки можно найти как диагональ параллелограмма:

При сферическом движении осестремительное ускорение a _Ω^ос направлено по перпендикуляру, опущенному из точки на мгновенную ось Ω, а вращательное ускорение a _E^вр оказывается перпендикулярно плоскости проходящей через вектор углового ускорения ε и радиус-вектор r.

 

Направление вращательного ускорения не совпадает с направлением скорости.