Обыкновенные и десятичные дроби. Периодические бесконечные дроби

Любое рациональное число можно представить в виде дроби , где , а .

Каждая из равных между собой дробей является представителем некоторого рационального числа. Среди представителей того или иного рационального числа есть представитель с наименьшим знаменателем. Этот представитель является несократимой дробью.

Любое рациональное число можно представить десятичной дробью. Причем, если разложение знаменателя несократимого представителя этого числа является произведением только двоек и пятерок, то получается конечная десятичная дробь.

Если же разложение знаменателя несократимого представителя рационального числа содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то получится бесконечная периодическая десятичная дробь.

Найдём десятичное представление числа , поделив числитель 16 на знаменатель 37.

16 37          160 37        160 37        160 37

0            148 0,4       148 0,43     148 0,432

                   12             120           120

                                          111           111

                                          9           90

                                                                  74

                                                                  16

Проведя 4 шага деления, замечаем, что очередной остаток 16 повторил число, с которого началось деление. Это означает, что будут повторяться и следующие остатки, причём в том же порядке, а значит, будут повторяться и цифры частного. Таким образом, . Повторяющаяся группа цифр 432 называется периодом десятичной дроби, а сама дробь – бесконечной периодической десятичной дробью.

Бесконечные периодические десятичные дроби принято записывать короче, заключая период в скобки: = 0,(432).

Запись 0,(432) читают: 0 целых и 432 в периоде.

При представлении некоторых рациональных чисел десятичными дробями повторяющаяся группа цифр может начинаться не сразу после целой части. Например:

= 0,6351351351… = 0,6(351); = 2,8636363… = 2,8(63);

= 13,54666… = 13,54(6); = 3,64189189189… = 3,64(189).

Группа цифр между целой частью и периодом называется допериодом. В записи 13,54(6) допериод равен 54, период равен 6. Эта запись читается: 13 целых 54 сотых и 6 в периоде. Таким образом, любое рациональное число можно представить конечной десятичной дробью или бесконечной периодической десятичной дробью.

Тема 11. Квадратный корень из неотрицательного числа