Определение. Свойство квадратного корня. Представление подкоренного выражения в виде квадрата. Извлечение корней

Числа 6 и −6 оба удовлетворяют уравнению y² = 36. Их называют квадратными корнями из числа 36.

Квадратным корнем из числа a называют число, квадрат которого равен a.

Неотрицательный корень уравнения y² = 36, т. е. число 6, называют арифметическим квадратным корнем из числа 36.

Арифметическим квадратным корнем из числа a называют неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Арифметический квадратный корень из числа a обозначают  и читают «Квадратный корень из a».

Знак  называют знаком арифметического квадратного корня. Выражение a, записанное под знаком корня, называют подкоренным выражением.

Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Извлечение квадратного корня является действием, обратным действию возведения в квадрат.

Возведение в квадрат можно выполнить над любым числом, а извлечение квадратного корня невыполнимо для отрицательного подкоренного выражения. Например, выражение  не имеет значения, поскольку нет такого числа, квадрат которого был бы равен −4.

Выражение имеет значение, если a ≥0.

В соответствии с определением арифметического квадратного корня при любом значении a, a ≥ 0, истинно равенство: .

Чтобы извлечь корень из какого-либо числа, нужно представить его в виде квадрата некоего числа, а затем провести действие извлечения корня.

1225 5

245 5

49 7

7 7

То есть 1225 = 5·7·5·7=35·35=35², значит, .

Действие, обратное возведению в третью степень, называют извлечением корня кубического, возведению в четвертую степень — извлечением корня четвертой степени и т. д. Вообще, корнем степени n из числа a называют такое число x, n-ая степень которого равна числу a.