Свойство модуля. Построение графика функции «Модуль». Свойства функции

Если рассматривать геометрический смысл модуля, то говорят, что модуль – расстояние до конкретной точки координатной прямой от начала координат в единичных отрезках. Так как никакое расстояние не может быть отрицательным, то легко понять, что значение модуля любого числа – это число неотрицательное. Например, расстояние от начала координат до точки А(-5) равно 5. По-другому, |-5|=5.

Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчёта, т.е. удалена от начала координат на 0 единичных отрезков. Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули: |-а|=|а|.

Итак, .

Свойства модулей чисел: 1) |а|≥0; 2) |ab|=|a|⸳|b|; 3) (b≠0); 4) |a²|=a²; 5) |a|=|-a|

Решим уравнение |x-1|=2, используя определение и смысл модуля.

|-2|=2 и |2|=2. Т.е. х-1= –2 или х-1=2. Получили 2 линейных уравнения. Корнем уравнения х-1= –2 является число х= –1, а корнем уравнения х-1=2 является число х=3.

Проверим решения. |-1-1|=|-2|=2, |3-1|=|2|=2.

Перейдём к построению графика функции у= |х|. Вспомним алгоритм построения графика функции:

1) находим область определения функции;

2) берём несколько точек из области определения функции;

3) подставляем значения х из ООФ в уравнение функции;

4) полученные пары чисел (х;у) – точки графика функции.

Областью определения функции «Модуль» является вся числовая ось. Для построения графика возьмём 3 или 5 точек. 1 точка – вершина графика, 2 или 4 точки – для более точного построения.

х	-2	-1	0	1	2
у	2	1	0	1	2

Построим график функции у=|х-1|. Так как в формулу функции входит модуль, то его необходимо раскрыть, рассмотрев 2 случая. Поэтому функцию можно записать в виде

То есть при х≥1 строится луч, удовлетворяющий уравнению х-1, а при х<1 строится луч, удовлетворяющий уравнению 1-х.

Для построения графика возьмём точки, ближайшие к 1 – точки -1, 0, 1, 2 и 3.

|x-1|=|0-1|=1, |x-1|=|1-1|=0, |x-1|=|2-1|=1.

х	-1	0	1	2	3
у	2	1	0	1	2

Центральная точка (вершина графика) – точка А(1;0), крайняя левая точка С (-1;2), крайняя правая точка В(3;2).

СА – луч 1-х, а ВА – луч х-1.

Таким образом, графиком данной функции является ломаная САВ.

Свойства графика функции «Модуль»:

1) область определения функции – вся числовая ось;

2) функция симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину;

3) функция убывает при х (- ), возрастает при х (- ), где а – координата вершины;

4) функция ограничена снизу если у= |kx+b| и ограничена сверху, если у= – |kx+b|.

Используя определения арифметического квадратного корня и модуля, можно сделать вывод, что при любом значении х верно равенство .

Кроме построения графиков функций, содержащих модуль, и решения уравнений модуль ещё рассматривается при решении неравенств, содержащих модуль.

Рассмотрим неравенство |х|≤а, где а>0. Этому неравенству удовлетворяют все точки х, находящиеся на расстоянии, не большем а, от точки 0, т.е. точки отрезка [-a;a].