Внесение множителя под знак корня и вынесение из-под знака корня. Разложение на множители выражения, содержащего корень

Так как согласно определению квадратного корня , то для выполнения операции внесения числа под знак корня можно воспользоваться преобразованием .

Для вынесения выражения из-под знака корня нужно подкоренное выражение представить в виде квадрата, а затем вынести получившееся выражение из-под знака корня в соответствии с правилом . Это же определение квадратного корня в совокупности с формулами сокращённого умножения используют для того, чтобы разложить на множители выражение, содержащее корень.

Пусть требуется упростить выражение  Для этого представим число 75 в виде произведения, в котором один из множителей является квадратом натурального числа, и применим свойство извлечения корня из произведения. Итак:  Мы представили  в виде произведения чисел 5 и . В этом случае говорят, что мы вынесли множитель за знак корня.

Теперь упростим исходное выражение: .

Для демонстрации процесса внесения под знак корня сравним значения выражений  и .

Представим в выражении  множитель 2 в виде арифметического квадратного корня и выполним умножение корней.  Мы заменили произведение выражением  В таких случаях говорят, что мы внесли множитель под знак корня.

Теперь можно сравнить  и . Так как , то

Под знак корня можно вносить только неотрицательный множитель. Например, выражение можно преобразовать, внеся под знак корня множитель 7:

Выражение  где с<0, можно преобразовать, внеся под корень положительный множитель – с:

Представим разложение на множители следующим примером.

Найти наибольшее значение дроби .

Представим знаменатель дроби в виде разности квадратов, воспользовавшись тем, что а≥0. Получим:

Дробь принимает наибольшее значение, когда её знаменатель является наименьшим. Этого можно достичь при а=0. Если а=0, то . Значит, наибольшее значение дроби  равно .