2020-06-10
270
Коэффициенты уравнений. Типы квадратных уравнений. Приведение квадратноготрёхчлена к стандартному виду. Умножение многочлена на многочлен и приведение его к стандартному виду квадратного трёхчлена
С общим видом квадратного уравнения мы уже с вами познакомились в предыдущем параграфе. Вспомним его: ax2+bx+c=0. Переменные а, b, c в общем виде уравнения представляют собой числа или по-другому коэффициенты. А мы знаем, что числа имеют много разных типов и видов. Уравнение ax2+bx+c=0 называется полным. Если же любой из коэффициентов a или b или оба сразу равны 0, то такие уравнения называют неполными.
Вид полного квадратного уравнения ещё называют квадратным трёхчленом стандартного вида. Коэффициенты полного уравнения называются старший коэффициент или первый (при переменной второй степени), в нашем случае коэффициент a при х2, второй коэффициент или средний (при переменной первой степени), в нашем случае коэффициент b при х и свободный член уравнения (число без переменной), в нашем случае это с.
|
|
|
Научимся для начала определять коэффициенты уравнений, тип уравнения, приводить квадратный трёхчлен к стандартному виду. Чтобы безошибочно определить коэффициенты, вначале обучения лучше приводить уравнение к стандартному виду. Если в любом уравнении вы будете безошибочно определять коэффициенты, то в этом уже не будет необходимости.
Есть ещё два типа квадратных уравнения, связанных со старшим коэффициентом. Если старший коэффициент а равен 1, то уравнение называют приведённым, а если коэффициент а отличен от 1, то уравнение называют не приведённым.
Пример 1
Уравнение 
неполное, так как в нём отсутствует средний член уравнения. Коэффициент – это число вместе со знаком. Чтобы правильно привести уравнение к стандартному виду надо сначала сделать так, чтобы между членами уравнения стояли только знаки «плюс», так как стандартный виду уравнения ax2+bx+c=0 не содержит знака «минус». Как же этого добиться? Нужно вспомнить, что такое отрицательное число. Это число противоположное положительному с тем же модулем.
Итак, 
. Это стандартный вид уравнения. Давайте определим его коэффициенты.
Откуда мы взяли 0х? В математике отсутствие чего-либо обозначается нулем. Так и в этом уравнении. Раз нет переменой х в первой степени, значит, она была умножена на 0 или, по-другому, коэффициент перед х равен 0.
Отсюда вывод: а= –5, с=2.
Пример 2
Возьмём уравнение 
. Видим, что левая часть уравнения не равна 0. Этот вывод мы сделали из того, что справа стоит число –2. Значит, уравнение не находится в стандартном виде. Так как в нашем примере есть член уравнения при второй степени переменной, член уравнения при первой степени переменной и свободный член уравнения, значит, уравнение полное. Приведём его к стандартному виду. Ранее в курсе алгебры вы уже научились переносить члены уравнения из одной стороны в другую, менять местами члены уравнения. Это мы и сделаем для приведения уравнения к стандартному виду.
|
|
|
Итак, мы привели уравнение к стандартному виду. В этом уравнении старший коэффициент а =5, средний коэффициент b = 
, свободный член уравнения с =6.
Пример 3
Уравнение 2х2+4х=0 находится в стандартном виде. В уравнении отсутствует свободный член, значит, оно неполное. Коэффициенты: а=2, b=4.
Умножение многочлена на многочлен тоже может привести к получению квадратного трёхчлена, если умножаются два многочлена, в которых переменная находится в первой степени.
Например (х+3)(х+4)=0 сведётся к квадратному трёхчлену. Проверим это.
Получили один член уравнения второй при переменной второй степени, два члена уравнения при переменной первой степени, один свободный член уравнения. Старшая степень в этом уравнении вторая. Можем сделать вывод, что этот многочлен квадратный. Но есть подобные члены, значит, он не в стандартном виде. Приведём данный многочлен в стандартный вид. 
Получившийся многочлен – квадратный трёхчлен стандартного вида. В качестве повторения материала определим его коэффициенты. Старший коэффициент а=1, средний коэффициент b=7, свободный член с=12.
