Метод введения новой переменной

Очень часто для решения уравнений используется способ замены переменной. Если в уравнение неизвестная входит в состав выражения, повторяющегося в уравнении, то это выражение целиком заменяют на новую переменную. Затем уравнение решают для новой переменной, а затем возвращаются к старой переменной и вновь решают уравнение, но уже для старой переменной.

Рассмотрим следующее уравнение: .

Если мы немного преобразуем это уравнение, то легко заметим повторяющееся выражение, в состав которого входит переменная х.

В уравнение неизвестная х входит в виде выражения . Поэтому введём новую переменную . Тогда исходное уравнение примет вид: .

ОДЗ у≠0.    Найдём дискриминант и корни уравнения

Вернёмся к исходной переменной:  →  и  и . Получим 2 квадратных уравнения:  и . Решив их, получим корни: для , а для уравнения  корни .

То есть исходное уравнение  имеет 4 корня: , .

Метод введения новой переменной используется также для решения биквадратных и иррациональных уравнений.

Уравнение вида ax ⁴ + bx ² + c = 0, где a, b и c — некоторые числа, x — переменная, причем a ≠ 0, называется биквадратным уравнением. Биквадратное уравнение ax ⁴+ bx ²+ c =0 заменой x ² = t сводится к квадратному.

Решим уравнение: 9 s ⁴ + 26 s ² − 3 = 0.

Пусть s ² = a. Тогда 9 a ² + 26 a − 3 = 0. Отсюда a = −3 или a = .

Значит, s ² = −3 или s ² = .

Уравнение s ² = −3 не имеет корней.

Корнями уравнения s ² =  являются числа  и .

Ответ: s ₁ = − ; s ₂ = .

С помощью замены можно решать и некоторые другие уравнения.

Решим уравнение

Пусть |t|=y. Тогда  Это позволяет данное уравнение заменить уравнением , корнями которого являются числа:  и

Вернёмся к исходной переменной t. При  получаем . Отсюда получаем 2 корня: .

Если y = 2, то | t| = 2.

Это дает еще два корня: t ₃ = −2, t ₄ = 2.

Ответ: −2, 2, .