Решение задач с использованием рациональных уравнений. Задачи на движение

Большинство задач в математике решаются с использованием уравнений. При решении таких задач неизвестное данное обозначается переменной, остальные данные связывают с этой переменной, и таким образом получается уравнение.

При решении таких задач необходимо обязательно указывать, что взято за х, как переменная связана с другими данными в задаче, пояснять, как получилось уравнение.

Рассмотрим несколько задач на движение.

Задача 1.

Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

Пусть х км/ч – скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению (х+3) км/ч, а против течения (х – 3) км/ч.

Время измеряется как частное от деления пути на скорость. Поэтому можно заметить, что по течению реки 25 км лодка прошла за часа, а против течения 3 км – за часа. Значит, время, затраченное на весь путь, равно часам. По условию задачи на весь путь лодка затратила 2 часа, значит, .

Решим это уравнение.

Очевидно, что х=2 не подходит, так как скорость лодки против течения (х – 3) км/ч, т.е. 2–3= –1, а скорость не может быть отрицательным числом.

Итак, скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

Задача 2.

Из Червеня в Березино (см. рис.) выехал автобус, а через 10 мин — маршрутное такси, скорость которого на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости автобуса и такси, учитывая, что они приехали в Березино одновременно.

По рисунку находим, что путь от Червеня до Березино составляет 40 км. Пусть v км/ч — скорость автобуса. Тогда скорость такси равна (v +20) км/ч. Автобус был в пути ч, такси — ч. В соответствии с условием задачи разность между временем движения автобуса и временем движения такси составляет 10 мин, т. е. ч. В результате получаем уравнение .

Решим это уравнение:

v ₁ = −80; v ₂ = 60.

При этих значениях v знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны нулю. Значит, числа −80 и 60 являются корнями уравнения. Из них только второе число удовлетворяет условию задачи, поскольку скорость автобуса должна быть положительной. Поэтому скорость автобуса равна 60 км/ч, скорость такси — 80 км/ч.

Задача 3.

В шахту брошен камень, и звук от его удара был услышан спустя 9 с. Определите глубину шахты, считая скорость звука равной 320 м/с, а ускорение силы тяжести g равным 10м/с².

Для нахождения глубины шахты достаточно определить время t падения камня, так как глубина шахты согласно закону свободного падения равна метрам.

По условию g =10м/с², поэтому глубина шахты равна 5t² метрам. С другой стороны, глубину шахты можно найти, умножив скорость звука на время его распространения от момента удара камня до момента, когда был услышан звук, т.е. на секунд. Следовательно, глубина шахты равна метрам. Приравнивая два найденных выражения для глубины шахты, получаем уравнение . Решим это уравнение: