Тема 2. Форматирование и узкополосная модуляция. Вариант 7

Форматирование с целью передачи – это преобразование исходной информации в цифровые сигналы.

Сигнал называется узкополосным (УПС), если ширина его спектра значительно меньше средней частоты: . Типичными представителями УПС являются модулированные радиосигналы.

Операция дискретизации – осуществляет преобразование аналоговых сигналов (функций), непрерывных по аргументу, в функции мгновенных значений сигналов по дискретному аргументу.

Операция восстановления аналогового сигнала из его дискретного представления обратна операции дискретизации и представляет, по существу, интерполяцию данных.

Теорема Котельникова: если аналоговый сигнал имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим отсчётам, взятым с частотой, большей или равной удвоенной максимальной частоте :

 – частота дискретизации;

 – максимальная частота, которой ограничен спектр реального сигнала.

Отсчет – мгновенное значение, взятое через определенный интервал времени.

Частота дискретизации – частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации.

 

Условие задачи:

Определите максимальную частоту дискретизации, необходимую для выборки и точного восстановления сигнала .

Дано:

,

где x(t) – функция отсчета

Найти:

Максимальную частоту дискретизации   f_s -?

Решение:

1)  Для решения данной задачи используем теорему Котельникова (теорема отсчётов). В соответствии с теоремой Котельникова точное восстановление сигнала возможно, только если частота дискретизации выше, чем удвоенная максимальная частота в спектре сигнала. Данная теорема выражается по формуле приведенной ниже:

где  – частота дискретизации;

 – максимальная частота.

Теорема отсчётов гласит, что при некоторых ограничивающих условиях, функция x(t) может быть восстановлена из её дискретизации, согласно интерполяционной формуле, представленной ниже:

        (2)

 

где  – период дискретизации, ;

f_s – частота дискретизации;

x(k ) - мгновенные значения данного ряда (дискретные отсчёты сигнала);

 - нормированная  - функция, в цифровой обработке сигналов и в теории связи  - функция, применяемая для восстановления аналогового сигнала по его отсчётам. Нормированная функция  определяется по следующей формуле:

     (4)

2)Для дальнейшего решения задачи нам следует преобразовать данную в условии функцию отсчета  в нормированную  – функцию. Для этого используем свойство нормированной функции, представленное в формуле (4):

,

выделяем  из значения 6280t и получаем:

3) Используяинтерполяционную формулу (2) и подставляя выражения полученные выше, находим :

4)При  функция отсчетов имеет максимальное значение при , согласно формуле (4) , отсюда следует:

 

T =

5)Вычисляем частоту дискретизации по формуле (3):

 

Ответ: максимальная частота дискретизации .

 

Заключение

Для решения данной задачи мы использовали   теорему Котельникова (теорема отсчётов). В соответствии с теоремой Котельникова точное восстановление сигнала возможно, только если частота дискретизации выше, чем удвоенная максимальная частота в спектре сигнала. Данная теорема выражается по формуле приведенной ниже:

где  – частота дискретизации;

 – максимальная частота.

Также в ходе решения мы полагались на   интерполяционную формулу, представленную ниже: