Тема 3. Узкополосная демодуляция/обнаружение. Вариант 7

Демодуляцию (demodulation) мы определим как восстановление сигнала (в неискаженный узкополосный импульс), а обнаружение (detection) - как процесс принятия решения относительно цифрового значения этого сигнала.

Вероятность появления ошибки  - степень возможности наступления ошибки.

Вероятности появления ошибки e  - ошибка появится при передаче одного из сигналов s_i(t), если вследствие шума канала уровень переданного сигнала  упадет ниже .

Плотности условного распределения    – является правдоподобием s_i, показывает плотность вероятности  при условии передачи символа s_i.

Априорные вероятности   – вероятности появления -го класса сигнала до эксперимента .

Равновероятная передача сигналов – передача сигналов, при которой вероятность того, что будет передан первый, или второй сигнал – одинаковая.

Порог  – это оптимальный порог ля миними­зации вероятности принятия неверного решения при равновероятных сигналах и симмет­ричных правдоподобиях.

 

Условие задачи:

Двоичная система связи передает сигналы . Тестовая статистика приемника , где компонент сигнала  равен  или , а компонент шума  имеет равномерное распределение. Плотности условного распределения  даются выражениями

и

Определите вероятность появления ошибки  для равновероятной передачи сигналов и использования оптимального порога принятия решения.

Дано:

s_i(t) (i =1,2) – двоичный сигнал;

, где z(T) – тестовая статистика приемника,

a_i  - компонент сигнал, n₀ – компонент шума;

, где a₁ – компонент сигнала s₁(t);

, где a₂ – компонент сигнала s₂(t);

;

    ;

где  и  – плотности условного распределения;

Найти:

Вероятность появления ошибки  Р_B  -?

Решение:

1) В данной работе нам необходимо определить вероятность появления ошибки  для равновероятной передачи сигналов. Для этого используем формулу приведенную ниже:

где P(e, s_i) – вероятность появления ошибки e при передаче двоичного сигнала s_i(t);

P(s_i) – априорная вероятность передачи двоичного сигнала s_i(t).

2) Согласно условию задачи значения  , тогда формула (1) примет следующий вид:

где P(e, s₁) и   P(e, s₂ ) - вероятности появления ошибки e при передаче сигналов s₁(t) и s₂(t);

P(s₁) и P(s₂) – априорные вероятности передачи сигналов   s₁(t) и s₂(t).

3) В формуле (2) имеются несколько неизвестных величин:

P(e, s₁) и   P(e, s₂ ), P(s₁) и   P(s₂), которые определим используя формулы представленные ниже:

где  - это оптимальный порог для минимизации вероятности принятия неверного решения.  Величину  можем узнать из следующей формулы:

где a₁ – компонент сигнала s₁(t), a₂ – компонент сигнала s₂(t).

3) Вычисляем значение оптимального порога  по формуле (6):

 

4) Подставляя формулы (3), (4) и (5) в формулу (1) получаем основную формулу для нахождения вероятности появления ошибки , приведенную ниже:

 5) Рассмотрим рисунок 1, характеризующий условие нашей задачи:

 

Рис.1 Плотности условных вероятностей:  и

 

Для вычисления вероятности появления ошибки  мы должны проинтегрировать  и .

5) Определяем вероятность появления ошибки по формуле (7), используя области интегрирования представленные выше:

Ответ: значение вероятности появления ошибки .

 

Заключение

В данной работе для определения вероятности появления ошибки  мы использовали следующую формулу:

где P(e, s_i) - вероятность появления ошибки e при передаче двоичного сигнала s_i(t);

P(s_i) – априорная вероятность передачи двоичного сигнала s_i(t).

Для решения нашей задачи большое значение приходится на величину .

 - это оптимальный порог для минимизации вероятности принятия неверного решения.  Величину  мы определяли из следующей формулы:

где a₁ – компонент сигнала s₁(t), a₂ – компонент сигнала s₂(t).