2020-07-12
81
Демодуляцию (demodulation) мы определим как восстановление сигнала (в неискаженный узкополосный импульс), а обнаружение (detection) - как процесс принятия решения относительно цифрового значения этого сигнала.
Вероятность появления ошибки 
- степень возможности наступления ошибки.
Вероятности появления ошибки e 
- ошибка появится при передаче одного из сигналов si(t), если вследствие шума канала уровень переданного сигнала 
упадет ниже 
.
Плотности условного распределения 
– является правдоподобием si, показывает плотность вероятности при условии передачи символа si.
Априорные вероятности 
– вероятности появления -го класса сигнала до эксперимента .
Равновероятная передача сигналов – передача сигналов, при которой вероятность того, что будет передан первый, или второй сигнал – одинаковая.
Порог – это оптимальный порог ля минимизации вероятности принятия неверного решения при равновероятных сигналах и симметричных правдоподобиях.
Условие задачи:
Двоичная система связи передает сигналы 
. Тестовая статистика приемника 
, где компонент сигнала 
равен 
или 
, а компонент шума 
имеет равномерное распределение. Плотности условного распределения 
даются выражениями
и
Определите вероятность появления ошибки для равновероятной передачи сигналов и использования оптимального порога принятия решения.
Дано:
si(t) (i =1,2) – двоичный сигнал;
, где z(T) – тестовая статистика приемника,
ai - компонент сигнал, n0 – компонент шума;
, где a1 – компонент сигнала s1(t);
, где a2 – компонент сигнала s2(t);
;
;
где 
и 
– плотности условного распределения;
Найти:
Вероятность появления ошибки РB -?
Решение:
1) В данной работе нам необходимо определить вероятность появления ошибки для равновероятной передачи сигналов. Для этого используем формулу приведенную ниже:
где P(e, si) – вероятность появления ошибки e при передаче двоичного сигнала si(t);
P(si) – априорная вероятность передачи двоичного сигнала si(t).
2) Согласно условию задачи значения 
, тогда формула (1) примет следующий вид:
где P(e, s1) и P(e, s2 ) - вероятности появления ошибки e при передаче сигналов s1(t) и s2(t);
P(s1) и P(s2) – априорные вероятности передачи сигналов s1(t) и s2(t).
3) В формуле (2) имеются несколько неизвестных величин:
P(e, s1) и P(e, s2 ), P(s1) и P(s2), которые определим используя формулы представленные ниже:
где - это оптимальный порог для минимизации вероятности принятия неверного решения. Величину можем узнать из следующей формулы:
где a1 – компонент сигнала s1(t), a2 – компонент сигнала s2(t).
3) Вычисляем значение оптимального порога 
по формуле (6):
4) Подставляя формулы (3), (4) и (5) в формулу (1) получаем основную формулу для нахождения вероятности появления ошибки , приведенную ниже:
5) Рассмотрим рисунок 1, характеризующий условие нашей задачи:
Рис.1 Плотности условных вероятностей: 
и 
Для вычисления вероятности появления ошибки 
мы должны проинтегрировать 
и 
.
5) Определяем вероятность появления ошибки по формуле (7), используя области интегрирования представленные выше:
Ответ: значение вероятности появления ошибки 
.
Заключение
В данной работе для определения вероятности появления ошибки мы использовали следующую формулу:
где P(e, si) - вероятность появления ошибки e при передаче двоичного сигнала si(t);
P(si) – априорная вероятность передачи двоичного сигнала si(t).
Для решения нашей задачи большое значение приходится на величину .
- это оптимальный порог для минимизации вероятности принятия неверного решения. Величину мы определяли из следующей формулы:
где a1 – компонент сигнала s1(t), a2 – компонент сигнала s2(t).
