Тема 4. Полосовая модуляция и демодуляция. Вариант 7

Цифровая модуляция – это процесс преобразования цифровых символов в сигналы, со­вместимые с характеристиками канала.

Полосовая модуляция (аналоговая или цифровая) – это процесс преобразования ин­формационного сигнала в синусоидальную волну; при цифровой модуляции синусои­да на интервале Т называется цифровым символом.

Демодуляция – процесс, обратный модуляции.

FSK (frequency shift keying) – частотная манипуляция.

Типич­ный вид набора сигналов FSK выражается формулой приведенной ниже:

где Е — энергия, переданная сигналу   в течение времени передачи символа Т;

   - частота сигнала ;

φ - фаза — это произвольная константа, которую можно положить равной нулю.

AWGN (additive white Gaussian noise — аддитив­ный белый гауссов шум)

Аддитивным белым гауссовским шумом называется вид мешающего воздействия, которое наблюдается в канале передачи данных.

Для такого шума характерны:

• равномерная спектральная плотность;
• нормально распределенное значение амплитуды;
• аддитивный способ воздействия на сигнал.

Согласованный фильтр – линейное устройство, спроектированное, чтобы давать на выходе максимальное возможное для данного передаваемого сигнала отношение сигнал/шум.

Когерентное обнаружение -процесс, когда для обнаружения сигналов приемник использует информацию о фазе несущей.

Вероятность появления ошибочного бита  – степень возможности наступления ошибочного бита.

Энергетический спектр можно условно назвать спектральной плотностью мощности шума N₀, если речь идет о случайном сигнале.

Длительность символа T – время передачи символа.

Временной коэффициент взаимной корреляций ρ – мера подобия двух сигналов.

Гауссов интеграл ошибок Q(x) – дополнительная функция ошибок.

 

Условие задачи:

Определите вероятность появления ошибочного бита Р_B для когерентного обнаружения с использованием согласованного фильтра равновероятных сигналов FSK.

и

Здесь двусторонняя спектральная плотность мощности шума AWGN равна N₀/2 = 0,0001. Длительность символа считать равной T =0,01 с.

  Дано:

;

,

где s₁(t) и s₂(t) – равновероятные сигналы.

 N₀ = 0, 0002 Вт/Гц,

 где N₀ - спектральная плотность мощности шума;

T =0, 01 с, где T - длительность символа.

Найти:

Вероятность появления ошибочного бита Р_B -?

Решение:

1) Для определения вероятности появления ошибочного бита будем использовать следующую основную формулу, приведенную ниже:

 

 

В представленной формуле (1) имеются несколько неизвестных величин, которые необходимо определить:

E_b – средняя энергия на бит;

 ρ – временной коэффициент взаимной корреляции, который мы будем использовать в качестве меры подобия двух сигналов s₁(t) и s₂(t);

Q(x) – гауссов интеграл ошибок.

 2) При равновероятной передаче сигналов и энергию на бит E_b можно найти по формуле, приведенной ниже:

где A – амплитуда одного из сигналов s₁(t) или s₂(t), т. к. мы рассматриваем равновероятные сигналы FSK:  s₁(t) и s₂(t), значение амплитуды является несущественной величиной, для FSK главной изменяющейся величиной является частота ;

T – длительность символа.

3) Временной коэффициент ρ находим по формуле, приведенной ниже:

4) Определим значение средней энергии на бит E_b, использую формулу (2):

5) Для нахождения значения временного коэффициента ρ в формулу (3) подставляем значение средней энергии на бит E_b  из формулы (2):

Решаем приведенное выше выражение используя следующую тригонометрическую формулу:

Используя данную формулу и преобразовывая ее, выражение для нахождения временного коэффициента ρ примет следующий вид:

Подставляем в выражение выше значение длительности символа T = 0,01с, и получаем следующее выражение:

 

6) Определим значение вероятности появления ошибочного бита Р_B. Для этого найденные значения средней энергии на бит E_b  по формуле (2) и временного коэффициента ρ по формуле (3) подставляем в формулу (1). Получаем следующее выражение:

7) Используем таблицу Б1 из приложения В, находим гауссов интеграл ошибок - Q(x),  который используется при описании вероятности с гауссовой плотностью распределения.

Согласно таблице Б1 при х = 0,612, гауссов интеграл ошибок Q(x) принимает следующее значение:

Q(x) = 0, 2709.

Следует и значение вероятности появления ошибочного бита Р_B = 0,2709.

Ответ: значение вероятности появления ошибочного бита Р_B = 0,2709.

 

Заключение

Для определения вероятности появления ошибочного бита мы пользовались формулой, приведенной ниже:

Конечным ходом решения было нахождения   гауссова интеграла ошибок - Q(x) по таблице Б1. А затем в силу равенства величин, определяли вероятность появления ошибочного бита.