Параллельные проекции плоских фигур

5.1 Изображение окружности

Если данная окружность расположена в плоскости, которая параллельна плоскости проекций π, то на основании свойств параллельного проектирования проекцией данной окружности на плоскость π является окружность, равная данной (рис.14, а).

Если же данная окружность расположена в плоскости α, которая не параллельна плоскости проекций π, и проектирующие прямые пересекают плоскость α, то проекцией данной окружности на плоскость π является кривая, которую называют эллипсом (рис.14, б).

Рисунок 14 – Окружность и эллипс

Из сказанного следует, что окружность является частным случаем эллипса. А так как середина отрезка проектируется в середину его проекции, то проекцией центра окружности (центра её симметрии) является точка, в которой делится пополам любой проходящий через неё отрезок с концами на эллипсе. Значит, эта точка является центром симметрии эллипса и называется центром эллипса. Любой отрезок с концами на эллипсе, проходящий через его центр, называется диаметром эллипса. Таким образом, центр и диаметр окружности проектируется в центр и диаметр эллипса.

В дальнейшем будем считать, что центр данного эллипса дан.

Эллипс используется при изображениях на плоскости фигур вращения — цилиндров, конусов и усечённых конусов, сфер и шаров, шаровых сегментов и секторов, а также шаровых слоёв.

5.2 Изображение треугольника

Изображения плоских фигур в параллельной проекции основаны на следующих двух теоремах об изображении треугольника.

Теорема 1. (теорема об изображении треугольника).Любойтреугольник ABC может служить изображением любого треугольника A′B′C′.

Доказательство. Пусть в плоскости изображения π дан треугольник ABC, а в пространстве — треугольник A ′ B ′ C ′.

Рисунок 15 – Подобие треугольников

Покажем, что треугольнику A ′ B ′ C ′ можно придать в пространстве такое положение относительно плоскости π и выбрать при этом такое направление проектирования, что проекцией треугольника A ′ B ′ C ′ будет треугольник, подобный треугольнику ABC. Тогда посредством преобразования подобия полученный треугольник-проекцию можно преобразовать в треугольник ABC, т. е. ⧌  ABC можно считать изображением ⧌  A ′ B ′ C.

Действительно, построим в плоскости π треугольник A ₁ B ₁ C ₁ так, чтобы: а) отрезки A ₁ B ₁ и A ′ B ′ были равны; б) треугольник A ₁ B ₁ C ₁ был подобен треугольнику ABC. При этом плоскость треугольника A ′ B ′ C ′ расположим таким образом относительно плоскости π, чтобы сторона A ′ B ′ совместилась со стороной A ₁ B ₁ и плоскости ABC и A ′ B ′ C ′ не совпадали (рис. 15). Тогда при параллельном проектировании в направлении прямой C ′ C ₁ проекцией треугольника A ′ B ′ C ′ служит треугольник A ₁ B ₁ C ₁, подобный треугольнику ABC. Это означает, что треугольник ABC — искомое изображение треугольника A ′ B ′ C ′.

Из приведённого доказательства следует вывод: изображением данного треугольника (в частности, как равнобедренного, так и равностороннего) может быть произвольный треугольник (треугольник произвольной формы). Это означает, что длина отрезка и величина угла, вообще говоря, не сохраняются при параллельном проектировании.

Имея изображение данного треугольника, можно построить изображение любой фигуры, содержащей этот треугольник или лежащей в его плоскости.

Теорема 2. Если на плоскости изображения π треугольник ABC служит изображением треугольника A′B′C′, то на плоскости π однозначно строится изображение любой точки плоскости α = (A′B′C′).

Доказательство. Пусть M ′ — произвольная точка плоскости α (рис. 16,  а). Будем строить изображение точки M ′ следующим образом. Луч A ′ M ′ пересекает прямую B ′ C ′ в точке K ′, изображением которой в плоскости π служит такая точка K прямой BC, что выполняется условие BK  :  KC  =  B ′ K ′ :  K ′ C ′. Из этого соотношения следует, что точку K на прямой BC (рис. 16,  б) можно построить (как?), и притом только одну (почему?). Далее на луче AK можно построить (каким образом?) такую единственную (почему?) точку M, что AK: KM  =  A ′ K ′: K ′ M ′.

Рисунок 16 – Изображение плоского треугольника в параллельной проекции

Точка M — искомое изображение точки M ′.

Смысл и важность теорем 1 и 2 состоит в следующем: при изображении плоской фигуры в параллельной проекции в плоскости изображения произвольно строится изображение трёх точек оригинала, не лежащих на одной прямой (трёх неколлинеарных точек). Изображения остальных точек оригинала (элементов оригинала) не могут быть произвольными, а строятся с учётом его аффинных свойств.

Поэтому алгоритм изображения плоской фигуры таков.

1.   Начертить оригинал (с точностью до подобия).

2.   Выделить в оригинале какой-либо треугольник.

3.   Изобразить этот треугольник произвольным треугольником.

4.   Постепенно строить изображения остальных точек (элементов) оригинала, используя лишь его аффинные свойства.

Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере.

Пусть данная фигура — плоский пятиугольник  A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ (рис. 17,  а). Построим его изображение в плоскости π.

Рисунок 17 - Изображение плоского многоугольника в параллельной проекции

Выделяем в данном пятиугольнике треугольник A ′ B ′ C ′ (см. рис. 17, а) и строим в плоскости π произвольный треугольник ABC (рис. 17, б), приняв его за изображение треугольника A ′ B ′ C ′. Проведя диагонали B ′ E ′ и B ′ D ′, пересекающие диагональ A ′ C ′ пятиугольника A ′ B ′ C ′ D ′ E ′, строим на основании соотношений AK  :  KC  =  A ′ K ′ :  K ′ C ′ и BK  :  KE  =  B ′ K ′ :  K ′ E ′ вершину E, а на основании соотношений AM  :  MC  =  A ′ M ′ :  M ′ C ′ и BM  :  MD  =  B ′ M ′ :  M ′ D ′ — вершину D. Тогда пятиугольник ABCDE — искомое изображение пятиугольника A ′ B ′ C ′ D ′ E ′.

 

5.3 Изображение параллелограмма и трапеции

Пусть дан параллелограмм A ′ B ′ C ′ D ′ (рис. 18, а). В частности, это может быть ромб, прямоугольник или квадрат.

Рисунок 18 - Изображение параллелограмма в параллельной проекции

Так как у параллелограмма противоположные стороны попарно равны и параллельны, то на основании свойств параллельного проектирования изображением параллелограмма является параллелограмм.

Проведём диагональ A ′ C ′ параллелограмма A ′ B ′ C ′ D ′. Изображение треугольника A ′ B ′ C ′ выполним в виде произвольного треугольника ABC (рис. 18,  б). Вершину D искомого параллелограмма ABCD получаем как точку, симметричную точке B относительно точки O — середины отрезка AC (BO  :  OD  =  B ′ O ′ :  O ′ D ′ = 1: 1).

Изображение трапеции A ′ B ′ C ′ D ′ (A ′ D ′ ‖  B ′ C ′) можно выполнить в такой же последовательности, что и при построении изображения параллелограмма, т. е. сначала построить произвольный треугольник ABC. Но для построения четвёртой вершины D трапеции-изображения ABCD необходимо учитывать параллельность оснований трапеции-оригинала и отношение их длин (аффинные свойства трапеции):

A ′ D ′ ‖  B ′ C ′ ⇒ AD  ‖  BC; BC: AD  =  B ′ C ′: A ′ D ′ (рис. 19).

Рисунок 19 - Изображение равнобедренной трапеции

При этом изображением равнобедренной трапеции A ′ B ′ C ′ D ′ (A ′ D ′ ‖  B ′ C ′) (рис. 243) может служить как равнобедренная трапеция, так и не равнобедренная, однако середины M ′ и K ′ оснований A ′ D ′ и B ′ C ′ трапеции A ′ B ′ C ′ D ′ проектируются соответственно в середины M и K оснований AD и BC трапеции ABCD. Поэтому отрезок MK изображает высоту равнобедренной трапеции A′B′C′D′ (см. рис. 20).

Рисунок 20 - Изображение трапеции

 

5.4 Изображение правильного шестиугольника

Рассмотрим оригинал — правильный шестиугольник A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ F ′ (рис. 21,  а). Его диагонали A ′ D ′ и C ′ F ′ делятся точкой O ′ — центром симметрии этого шестиугольника — пополам, а четырёхугольники A ′ B ′ C ′ O ′ и E ′ F ′ O ′ D ′ — равные ромбы. Поэтому: 1) изображаем ромб A ′ B ′ C ′ O ′ в виде произвольного параллелограмма ABCO (рис. 21, б); 2) строим точки D, E и F, симметричные точкам соответственно A, B и C относительно точки O (середина отрезка-оригинала изображается серединой его проекции).

Рисунок 21 – Изображение правильного шестиугольника

Шестиугольник ABCDEF — искомое изображение данного шестиугольника.

 

5.5 Изображение многоугольников, вписанных в окружность

Известно, что при параллельном проектировании ни величина угла, ни длина отрезка не являются инвариантными, но параллельные отрезки (прямые) изображаются параллельными отрезками (прямыми) и середина отрезка-оригинала изображается серединой отрезка-изображения. Кроме того, три точки, лежащие на одной прямой, изображаются тремя точками, также лежащими на одной прямой. Эти свойства фигур будем использовать при построении изображений многоугольников, вписанных в окружность.

 

5.6 Взаимно перпендикулярные диаметры окружности

Если диаметры A ′ B ′ и C ′ D ′ окружности ω′ взаимно перпендикулярны (рис. 245,  а), то диаметр A ′ B ′ делит пополам хорды, параллельные диаметру C ′ D ′, а диаметр C ′ D ′ делит пополам хорды, параллельные диаметру A ′ B ′.

Определение. Два диаметра эллипса называются сопряжёнными, если каждый из них делит хорды, параллельные другому, пополам.

Рисунок 22 – Изображение окружности

Так как середины параллельных хорд окружности ω′ изображаются серединами параллельных хорд эллипса ω, и точки, лежащие на одной прямой, проектируются в точки, также лежащие на одной прямой, то взаимно перпендикулярные диаметры окружности изображаются сопряжёнными диаметрами эллипса. Поэтому для построения изображения диаметра C ′ D ′ окружности ω′, перпендикулярного диаметру A ′ B ′, достаточно: 1) провести произвольный диаметр AB эллипса ω (рис. 245,  б); 2) провести любую хорду MN  ‖  AB; 3) построить середину L хорды MN. Диаметр CD эллипса ω, проходящий через точку L, является искомым.

 

5.7 Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность

Гипотенуза A ′ C ′ прямоугольного треугольника A ′ B ′ C ′, вписанного в окружность ω′ (рис. 23,  а), является диаметром этой окружности. Поэтому для построения изображения треугольника A ′ B ′ C ′ достаточно: 1) провести произвольный диаметр AC эллипса ω (рис. 23,  б); 2) выбрать произвольную точку B  ∈ ω. ⧌  ABC — искомое изображение прямоугольного треугольника A ′ B ′ C ′.

Рисунок 23 – Изображение треугольника, вписанного в окружность

 

5.8 Квадрат, вписанный в окружность

Диагонали A ′ C ′ и B ′ D ′ квадрата A ′ B ′ C ′ D ′, вписанного в окружность ω′ (рис. 24, а), являются взаимно перпендикулярными диаметрами этой окружности. Поэтому для построения изображения этого квадрата достаточно: 1) провести произвольный диаметр AC эллипса ω (рис. 24,  б); 2) построить сопряжённый ему диаметр BD. Параллелограмм ABCD — искомое изображение квадрата A ′ B ′ C ′ D ′.

Замечание. Для построения изображения прямоугольника, вписанного в окружность, достаточно провести два любых диаметра эллипса. Концы этих диаметров — вершины искомого изображения прямоугольника.

Рисунок 24 – Изображение ромба, вписанного в окружность

 

5.9 Правильный треугольник, вписанный в окружность

Вершина A ′ правильного треугольника A ′ B ′ C ′, вписанного в окружность ω′, является концом диаметра A ′ D ′, перпендикулярного его стороне B ′ C ′ (рис. 25, а). Причём сторона B ′ C ′ проходит через середину H ′ радиуса O ′ D ′, значит, B ′ C ′ ‖  E ′ F ′, где E ′ F ′ — диаметр окружности, перпендикулярный диаметру A ′ D ′. На основании этих рассуждений строим: 1) произвольный диаметр AD эллипса ω (рис. 25, б); 2) диаметр EF, сопряжённый диаметру AD; 3) точку H — середину отрезка OD; 4) хорду BC, BC ‖ EF, H ∈ BC. ⧌ ABC — искомый.

Рисунок 25 – Изображение равнобедренного треугольника, вписанного в окружность

 

5.10     Правильный шестиугольник, вписанный в окружность

Вершины B ′ и E ′ правильного шестиугольника A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ F ′, вписанного в окружность ω′, являются концами диаметра B ′ E ′ этой окружности (рис. 26, а); диагональ-хорда A ′ C ′ проходит через середину K ′ радиуса O ′ B ′ и параллельна диаметру M ′ N ′, перпендикулярному диаметру B ′ E ′; диагональ-хорда D ′ F ′ проходит через середину L ′ радиуса O ′ E ′ и также параллельна диаметру M ′ N ′. Поэтому строим: 1) произвольный диаметр BE эллипса ω (рис. 26, б); 2) диаметр MN, сопряжённый диаметру BE; 3) точку K — середину OB и точку L — середину OE; 4) AC  ‖  MN, K  ∈  AC; 5) DF  ‖  MN, L  ∈  DF. Тогда ABCDEF — изображение правильного шестиугольника, вписанного в окружность.

Рисунок 26 – Изображение шестиугольника, вписанного в окружность

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изображение пространственных фигур дает базис для построения чертежей в аксонометрической проекции, а также помогает рассмотреть объект изучения более детально, что делает его понятным для понимания. В данной теме изложены основы построения основных фигур на чертеже. Также изображение пространственных фигур помогает при рисовании и проектировании.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Методы изображений. Энциклопедия элементарной математики Н.М. Бескин 1963, Москва «Физматлит»

2. Метод параллельных проекций А.Б. Василевский 1985, Минск «Народная асвета»

3. Математические соревнования (геометрия) Васильев Н.Б., С.А. Молчанов и др. 1974, Москва «Наука»

4. Моделирование на уроках геометрии В.Н. Костицин 2000, Москва «Владос»

5. Геометрические построения в курсе средней школы. Учебное пособие. А.О. Корнеева 2003, Саратов «Лицей»

6. Перспектива. М.Н. Макарова 1989, Москва «Просвещение»

7. Проекционный чертеж и построения на нем. И.Г. Польский 1962, Москва «Учпедгиз»

8. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений Смирнова И.М., Смирнов В.А. 2003, Москва «Мнемозина»

9. Изображение пространственных фигур. Элективный курс. 10 – 11 классы. Смирнова И.М. 2007, Москва «Мнемозина»

10. Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии. Н.Ф. Четвертухин 1946, Москва «Учпедгиз»

11. Стереометрические задачи на проекционном чертеже.3-е изд. Н.Ф. Четвертухин 1955, Москва «Учпедгиз»