Изображение пространственных фигур в параллельной проекции

Рассмотрим некоторые вопросы теории изображения фигур (плоских и неплоских) при помощи параллельного проектирования этих фигур на плоскость изображения (плоскость проекций).

Фигуру, которую проектируют или изображают, называют оригиналом, а фигуру, которая получается на плоскости проекций (или плоскости изображения) при проектировании данного оригинала, называют параллельной проекцией этого оригинала (этой фигуры). Обычно для построения проекции данной фигуры строят проекции тех точек фигуры, которые её определяют.

В дальнейшем изображения фигур будут осуществляться только с помощью параллельного проектирования, поэтому вместо слов «параллельная проекция фигуры» будем говорить просто «проекция фигуры».

Прямую l (рис 5-8) в направлении которой проектируют фигуры на плоскость проекций π, и все прямые пространства, параллельные ей, называют проектирующими прямыми.

Рисунок 5 - Проекция прямой

Прямая l задаёт направление проектирования; она выбирается пересекающей плоскость проекций π. Любая плоскость, параллельная проектирующей прямой, называется проектирующей плоскостью.

При построении изображений фигур на плоскости мы будем использовать следующие свойства параллельного проектирования:

Рисунок 6 – Проекция двух параллельных прямых

- Проекция прямой есть прямая (см. рис.5) или точка.

- Две параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые (рис.6, а), либо в одну и ту же прямую (рис.6, б).

- Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллельных прямых (рис. 7, а), либо на одной прямой (рис.7, б).

- Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой (рис.8, а) или на параллельных прямых (рис.8, б), равно отношению длин проекций этих отрезков.

Рисунок 7 – Проекции параллельных отрезков

Рисунок 8 – Отношение длин отрезков

В частности, середина отрезка-оригинала проектируется в середину проекции этого отрезка (см. рис.8).

Фигура, подобная любой параллельной проекции данной фигуры Ф на данную плоскость π, называется изображением данной фигуры Ф на этой плоскости π.

Из этого определения следует, что непосредственно параллельная проекция данной фигуры является её изображением. Но так как плоскость изображения и направление проектирования выбираются произвольно, то проекции некоторых фигур могут оказаться «неудобно расположенными» на плоскости изображения, иметь очень малые или, наоборот, очень большие размеры. Поэтому в качестве изображения фигуры на плоскости принимают не только саму проекцию данной фигуры на эту плоскость, но и любую фигуру плоскости изображения, подобную параллельной проекции оригинала. При этом к изображениям предъявляются следующие требования:

- Изображение должно быть верным, т. е. должно представлять собой фигуру, подобную параллельной проекции оригинала. Иначе говоря, по верному изображению можно представить реально существующую фигуру-оригинал.

- Изображение должно быть наглядным, т. е. должно вызывать пространственное представление о форме оригинала. Иначе говоря, наглядность — это способность изображения вызывать зрительное впечатление, наиболее сходное с тем, какое вызывает геометрическая форма оригинала.

- Изображение должно быть быстро и легко выполнимым, т. е. правила, по которым строится изображение, должны быть максимально просты.

Следует заметить: если верность изображения является строго определяемым понятием, то «наглядность» и «лёгкая выполнимость» изображения — субъективные понятия.