Понятие непосредственного умозаключения в математической логике

Сказанное в предыдущем параграфе прямо относится к понятию непосредственного умозаключения в математической логике. В исчислении предложений суждения связь суждений представлена как одно нераздельное предложение, все равно, является оно действительно непосредственным умозаключением или опосредствованным. Предложение взято без всякого внутреннего различия, как единое. Обращают внимание только на признак истинности. Так представлен, например, силлогизм, который выражается так: «если А есть В и В есть С, то А есть С»; разделение умозаключения на посылки и заключение означает отсутствие связи (например, для Лукасевича)[110]; но здесь все сводится к предложению, т.е. пропущено именно логическое; у умозаключения нет соответствующей специфической формы в грамматике.

В исчислении предложений суждение и умозаключение сводятся к условному предложению, которое в более точной форме равняется разделительному. То, что в старой логике считается четырьмя модусами непосредственного умозаключения, здесь представляет четыре предложения, из которых ложно только одно (согласно аристотелевским положениям, как это было указано и выше): 1) если А ложно, то В истинно, 2) если А истинно, то В истинно, 3) если А ложно, то В ложно, 4) если А истинно, то В ложно. Ложно только это последнее, а остальные предложения истинны. В математической логике эти положения понимаются не как логическое осново-следственное, а только как функциональное отношение, хотя для определения истинности и ложности предложений применяется старое правило, именно, положение Аристотеля о том, что из истинного ложное не выводится.

Во взаимоотношении контрадикторных суждений, при истинности одного второе ложно и наоборот. Здесь тоже нет такого осново-следственного отношения, где из истинного не выводится ложное.

В математической логике место умозаключения занимает импликация; импликация А→В есть сокращенное выражение отношения ĀvB; здесь оставлено без внимания отношение основания-следствия, главное для которого: если есть основание, то есть и следствие, но невозможно: или отрицание основания или следствие, так как следствие есть следствие именно основания; умозаключение может быть правильным, независимо от истинности или ложности основания и следствия; поэтому истина умозаключения не зависит от истинности-ложности его компонентов. В этом смысле умозаключение не является функцией истинности. Умозаключение есть логическое осново-следственное, а не функциональное отношение.

Примерами непосредственного «умозаключения» математической логики могут служить следующие: 1) из х·у, как из посылки, получается х→у, как заключение — «логическое следствие», 2) из аксиомы xvx→х следует /xvx/ → /х/, что означает: если у каждой вещи есть свойство xvx (принадлежность сумме классов х и х), то у каждой вещи имеется и свойство х (принадлежность классу х); 3) из аксиомы х→хvy вытекает всегда истинная формула (т.е. такая, которая истинна, независимо от ложности или истинности ее компонентов /х/ → /xvy/, что означает: если объем предиката х содержит все предметы, то и объем предиката xvy содержит все предметы.

«Непосредственное умозаключение» означает превращение: частное «суждение» превращается в общее, например, «некоторые предметы красны», означает: «не все предметы некрасны»; «некоторые числа нечетны» — может быть выражено: «неверно, что все числа являются четными»; утверждением «некоторые х суть у» мы отрицаем, что «ни один х не есть у»; утверждением «некоторые х суть не у» мы отрицаем, что «все х суть у». Каждое частное предложение можно рассмотреть, как отрицание какого-нибудь общего.

В математической логике общее суждение не имеет зкзистенциональной интерпретации, поэтому из обще-утвердительного суждения нельзя получить частно-утвердительное. Если предикат А имеет силу для всех предметов, то это обозначается так: /А/; если от предиката А перейдем к /А/ и будем отрицать его, то получим частно-отрицательное суждение. Если мы отрицаем предикат А и переходим от Ā к предложению /Ā/, то получим отрицательное суждение.

Получение формул из аксиом, посредством правил умозаключения, происходит всегда в виде «непосредственных умозаключений», кроме правил умозаключения, которые являются металогическими; т.е. в системе «логики» осуществляются только непосредственные умозаключения, но это осуществление возможно только посредством правил умозаключения, и в этом смысле, опосредствованно (об опосредствованных умозаключениях будет речь в последующем).

В математической логике непосредственное умозаключение определяется следующим образом. В традиционной логике непосредственное умозаключение означает вывод из одного суждения, как из посылки, второго суждения, как заключения. Здесь имеется отношение основания-следствия; в математической же логике «непосредственное умозаключение» понимается по другому: это такое умозаключение, которое осуществляется однократным применением одного из правил умозаключения[111]. Это превращение одной формулы в другую, когда имеется не отношение основания-следствия (что является главным влогике), а функциональное отношение, функция истинности. Но, как было сказано, превращение одной формулы в другую осуществляется только применением правил умозаключения, т.е.осуществляется всегда опосредствованно.

Следует отметить, что в математической логике имеются попытки формализации отношения основания-следствия, как «строгой импликации» (Люис и его последователи), но эти попытки пока-что не дают определенных результатов. Логическое отношение основания-следствия есть внутренняя необходимая выводимость-связь, формализация чего упразднит ее; поэтому формализация такой связи невозможна. Правильное понятие умозаключения заранее подразумевается при всякой формализации. Математическая логика есть применение общей логики (об этом будет речь ниже).