Постоянный электрический ток

1 Сила тока

где q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.

Плотность тока:

где S – площадь поперечного сечения проводника, а направление вектора плотности тока совпадает с направлением силы тока.

2 Закон Ома:

а) или (для участка цепи, не содержащего э.д.с.),

где j₁– j₂= U – разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи; R – сопротивление участка;

б) (для участка цепи, содержащего э.д.с.), где x– э.д.с. источника тока; R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);

в) (для замкнутой цепи), где R – внешнее сопротивление цепи; R_i – внутреннее сопротивление цепи (сопротивление источника тока).

3 Сопротивление проводника: , где r – удельное сопротивление; l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения проводника.

Сопротивление системы проводников: a) (при последовательном соединении); б) (при параллельном соединении), где R_i – сопротивление i -го проводника.

4 Работа, совершаемая электрическим током:

A = I U t, A = I ²R t, .

Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две – для участка, не содержащего э.д.с.

5 Мощность электрического тока:

P = I U, P = I ²R, .

6 Закон Джоуля – Ленца: Q = I ²R t = I U t,

где Q – количество теплоты, выделяющейся в проводнике за время t при прохождении по нему постоянного тока I.

7 Закон Ома в дифференциальной форме:

где – плотность тока; g – удельная проводимость; - напряженность электрического поля.

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

1 Закон Био – Савара – Лапласа:

, или ,

где – индукция магнитного поля, создаваемого элементом проводника длиной с током I; – радиус-вектор, проведенный из этого элемента проводника в ту точку поля, в которой вычисляется магнитная индукция; – угол между радиус-вектором и направлением тока в элементе проводника; μ – относительная магнитная проницаемость изотропной среды (для вакуума μ = 1); μ₀ – магнитная постоянная (μ₀= 4π·10^-7Гн/м).

2 Магнитная индукция поля, созданного произвольной системой

проводников с токами (принцип суперпозиции магнитных полей):

где – магнитная индукция результирующего поля; – магнитные индукции ,..., складываемых полей.

3 Магнитная индукция в центре кругового тока:

где r – радиус кругового витка с током.

4 Магнитная индукция на оси кругового тока:

где h – расстояние от центра витка с током до точки, в которой вычисляется магнитная индукция.

5 Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током:

где r ₀ – кратчайшее расстояние от оси проводника до точки, в которой вычисляется магнитная индукция.

6 Магнитная индукция поля, создаваемого прямолинейным проводником с током в произвольной точке (рисунок а):

где φ₁, φ₂ – углы, образованные прямыми, проведенными из рассматриваемой точки к концам проводника, и направлением тока, проходящего через проводник. При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рисунок б), -cosφ₂ = cosφ₁ = cosφ, тогда: . Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости чертежа, направлен к нам и поэтому изображен точкой.

7 Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура:

где – алгебраическая сумма токов, охватываемых данным контуром. Знак "+" у тока берется в случае, если направление обхода контура и направление тока составляют правовинтовую систему.

8 Циркуляция вектора магнитной индукции вдоль замкнутого контура:

9 Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в средней его части (или тороида на его оси):

B = μ μ₀ n I.

где n= – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.

10 Связь магнитной индукции с напряженностью магнитного поля:

, или (в вакууме).

11 Закон Ампера:

, или F = B I l sinα,

где – сила, действующая на прямой отрезок проводника с током I, помещенный в однородное магнитное поле; l – длина проводника; α – угол между направлением тока в проводнике и вектором магнитной индукции . Если поле неоднородно и проводник не является прямым, то закон Ампера можно применять к каждому элементу проводника в отдельности:

, или dF = B I dl sinα.

12 Сила взаимодействия двух бесконечно длинных параллельных

проводников с током:

где d – расстояние между проводниками.

13 Магнитный момент контура с током:

, или p = I S,

где I – сила тока в плоском контуре; S – площадь, охватываемая контуром; – единичный вектор положительной нормали к плоскости контура. Вектор магнитного момента направлен перпендикулярно плоскости контура в соответствии с правилом буравчика.

14 Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле:

, или M = p _m B sinα,

где α – угол между векторами и .

15 Потенциальная энергия контура с током в магнитном поле:

, или П = - p_mB cosα.

За нулевое значение потенциальной энергии контура с током в магнитном поле принято расположение контура, когда вектор перпендикулярен вектору .

16 Отношение магнитного момента p _m к механическому моменту L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по круговой орбите:

где q – заряд частицы; m – масса частицы.

17 Сила Лоренца:

, или ,

где – скорость заряженной частицы; a – угол между векторами и .

18 Если частица находится одновременно в электрическом и магнитном полях, то под силой Лоренца понимают выражение:

где – вектор напряженности электрического поля.

19 Магнитный поток: а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности:

Ф = B S cos a, или Ф = B_n S,

где B_n = B cos a – проекция вектора на направление нормали к площадке; S – площадь контура; a – угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции;

б) в случае неоднородного магнитного поля и произвольной поверхности:

интегрирование ведется по всей поверхности.

20 Теорема Гаусса:

где – магнитный поток через замкнутую поверхность.

21 Потокосцепление (полный магнитный поток):

Ψ = N Ф,

где Ф – магнитный поток через один виток; N – число витков. Эта формула применима для вычисления Ψ соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу витков.

22 Работа сил Ампера при перемещении проводника с током в магнитном поле:

A = I Δ Ф,

где Δ Ф – магнитный поток, пересекаемый проводником при его движении.

23 Работа сил Ампера при перемещении замкнутого контура с током в магнитном контуре:

А = I Δ Ф = I (Ф₂- Ф₁),

где Δ Ф – изменение магнитного потока, пронизывающего контур.

24 Э.д.с. индукции:

где N – число витков контура; Ψ – потокосцепление. Знак минус указывает, что э.д.с. индукции (или ток индукции), согласно правилу Ленца, противодействует изменению магнитного потока, пронизывающего контур.

25 Разность потенциалов на концах проводника, движущегося со скоростью в магнитном поле:

U = B l sinα,

где l – длина проводника; α – угол между векторами и .

26 Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур:

где r – сопротивление контура.

27 Индуктивность контура:

28 Э.д.с. самоиндукции:

29 Индуктивность соленоида:

L= μμ₀ n ² V,

где n – число витков, приходящееся на единицу длины соленоида; V – объем соленоида.

30 Энергия магнитного поля:

W=L I ² / 2.

31 Объемная плотность энергии магнитного поля (энергия, заключенная в единице объема):

, или , или ,

где B – магнитная индукция; H – напряженность магнитного поля.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1 Два равных по величине заряда 3 × 10^-9 Кл расположены в вершинах при острых углах равнобедренного прямоугольного треугольника на расстоянии см. Определить, с какой силой эти два заряда действуют на третий заряд +1 × 10^-9 Кл, расположенный в вершине при прямом угле треугольника. Рассмотреть случай, когда первые два заряда одно- и разноименные, и пояснить их рисунками.

Решение

Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется по закону Кулона: . По принципу суперпозиции поле каждого заряда q ₁и q ₂действует на заряд q ₃независимо. Вследствие этого на заряд q ₃ действуют независимо силы и .

Векторная сумма этих сил будет искомой величиной. Как видно из рисунка, сила в обоих случаях будет одинаковой по абсолютной величине. Перейдем от векторного к скалярному выражению сил. Введем обозначение F ₁₃ = F ₂₃ = F ₃. Тогда из геометрических соображений , где r ₁₃(или r ₂₃) - расстояние между зарядами q ₁ и q ₃ и (или) q ₂ и q ₃, r ₁₃ = r ₂₃ = r / .

Подставляя числовые значения, определим F = 9,5 × 10^-5 Н.

2 Два одинаковых положительных заряда 10^-12 Кл находятся в воздухе на расстоянии 8 см друг от друга. Определить напряженность поля и потенциал в точке, расположенной на расстоянии 5 см от зарядов.

Решение

По принципу суперпозиции напряженность поля, создаваемого зарядами q ₁и q ₂, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в данной точке поля: . Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом, вычисляется по формуле

, (2.1)

где q – заряд; e – диэлектрическая проницаемость; e₀ – электрическая постоянная; r – расстояние от заряда до точки поля, в которой определяется напряженность.

Так как заряды q ₁ и q ₂положительны, то векторы и имеют направление по силовой линии от заряда. Как видно из рисунка, вектор суммарной напряженности является диагональю параллелограмма со сторонами и . Его абсолютное значение находим, используя теорему косинусов

, (2.2)

где a - угол между векторами и , который можно определить из треугольника со сторонами r ₁, r ₂и r ₃:

Подставляя и из (2.1) в (2.2), после преобразований получаем

(2.3)

Потенциал j, создаваемый в данной точке поля системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности: . В данной задаче потенциал j результирующего поля будет равен j = j₁+ j₂ Потенциал, создаваемый точечным зарядом, определяется по формуле . Следовательно, потенциал результирующего поля

. (2.4)

Подставляя числовые значения в формулы (2.3) и (2.4), находим напряженность поля и потенциал: Е = 4,32 В/м; j = 0,39 В.

3 Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью v₁ =10⁶ м/с, чтобы скорость его возросла в 2 раза.

Решение

Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением заряда е электрона на разность потенциалов U:

A = eU. (3.1)

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:

, (3.2)

где T ₁и T ₂ – кинетические энергии электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m – масса электрона; v ₁и v ₂ – начальная и конечная его скорости. Приравняв правые части равенств (3.1) и (3.2), получим

, (3.3)

где n = v ₂/ v ₁ = 2. Отсюда искомая разность потенциалов

. (3.4)

Подставив числовые значения, получим: U = 8,53 В.

4. Между пластинами плоского конденсатора, находящимися на расстоянии 1 см, приложена разность потенциалов 200В. К одной из пластин прилегает плоскопараллельная стеклянная пластина (e₁= 7) толщиной 9 мм. Конденсатор отключают от источника напряжения и после этого вынимают пластину. Определить разность потенциалов между пластинами конденсатора. Во сколько раз изменится энергия конденсатора?

Решение

Разность потенциалов между пластинами конденсатора в случае отключения его от источника напряжения находится из условия, что заряд на его пластинах остается неизменным, т.е.

C ₁ U ₁ = C ₂ U ₂, (4.1)

где C ₁и C ₂ - емкости конденсатора; U ₁и U ₂ - разности потенциалов.

В условиях данной задачи конденсатор вначале является слоистым и его емкость C ₁находится по формуле для определения емкости батареи последовательно соединенных конденсаторов:

, (4.2)

где S - площадь пластин; e₁ и e₂- диэлектрические проницаемость стекла и воздуха; d ₁- толщина стеклянной пластины; d ₀ - зазор между пластинами.

После удаления стеклянной пластины из зазора конденсатор становится простейшим плоским конденсатором с емкостью

. (4.3)

Разность потенциалов U ₂, которая устанавливается после удаления из зазора стеклянной пластины, определим из формулы (4.1), подставляя в нее (4.2) и (4.3) и производя соответствующие преобразования:

. (4.4)

Подставим числовые значения в (4.4), получаем U ₂= 976 В.

Энергия конденсатора равна

W = CU ²/2.

Изменение энергии конденсатора найдем, узнав отношение энергии конденсаторов:

W ₂ / W ₁ = C ₂ U ₂² / (C ₁ U ₁² ). (4.5)

Отношение (4.5) можно представить в виде

Так как по условию C ₁ U ₁ = C ₂ U ₂, то

W ₂ / W ₁ = U ₂ / U ₁= 4,38.

5. Определить максимальную мощность, которая может выделяться во внешней цепи, питаемой от батареи с э.д.с. 12 В, если наибольшая сила тока, которую может дать батарея, равна 5 А.

Решение

Используем закон Ома для замкнутой цепи

Рис. 4

, (5.1)

где R - сопротивление внешней цепи; r - внутреннее сопротивление источника тока.

Мощность тока P, выделяемая во внешней цепи, определяется по формуле N= I ² R. Преобразуем это выражение, используя (5.1):

. (5.2)

Таким образом, мощность зависит от сопротивления внешней цепи R. Мощность будет максимальной при таком значении R, при котором первая производная обращается в нуль.

Возьмем первую производную

. (5.3)

Из (5.3) видно, что = 0 при R=r. Определим r. Максимальный ток возникает при коротком замыкании цепи, т.е. когда внешнее сопротивление R =0. Исходя из этого, , откуда , а значит,

. (5.4)

Подставив (5.4) и (5.2) и выполнив преобразования, получим

. (5.5)

После вычислений получим: N = 15 Bт.

6. Потенциометр с сопротивлением R =100 Ом подключен к батарее, э.д.с. которой x= 150 В и внутреннее сопротивление r =50 Ом. Определить:

1) показание вольтметра с сопротивлением R_в =500 Ом, соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра;

2) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.

Решение

1. Показание вольтметра, подключенного к точкам А и В как показано на рисунке, определим по формуле

U ₁ =I ₁ R ₁, (6.1)

где R ₁- суммарное сопротивление вольтметра и потенциометра, которые соединены параллельно; I ₁- сила тока в ветвях этого соединения.

Силу тока I ₁ найдем по закону Ома для полной цепи:

I ₁ =x / (R_e+r), (6.2)

где R_e сопротивление внешней цепи. Это сопротивление есть сумма двух сопротивлений

R_e= R/2+ R ₁ . (6.3)

Сопротивление R ₁ найдем по формуле параллельного соединения проводников , откуда

. (6.4)

Подставив в (6.2) выражение R_e по (6.3), найдем

. (6.5)

В данном случае решение задачи в общем виде было бы громоздким. Поэтому удобно вычисления величин провести раздельно: R ₁= 45,5 Ом; I ₁=1,03 A; U ₁= 46,9 В.

2. Разность потенциалов между точками A и B при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I ₂на половину сопротивления потенциометра:

, (6.6)

где I ₂- сила тока в цепи при отключенном вольтметре. Ее определим по формуле

Подставив выражение для I ₂ в формулу (6.6), найдем

Произведем вычисления: U ₂= 50 B.

Таким образом, в результате вычислений мы получили: 1) U ₁= 46,9 В; 2) U ₂= 50 B.

7 По проводнику, согнутому в виде квадратной рамки со стороной а = 10 см, течет ток I = 5 А. Определить индукцию В магнитного поля в точке, равноудаленной от вершин квадрата на расстояние, равное его стороне.

Решение

Искомая индукция магнитного поля в точке Аявляется векторной суммой индукций , создаваемых в этой точке токами, текущими в каждом из четырех проводов, являющихся сторонами квадрата. Из соображений симметрии все четыре индукции по абсолютной величине равны между собой. На рисунке изображен только один из четырех векторов , соответствующий полю, создаваемому током в проводе DC. B соответствии с правилом буравчика вектор перпендикулярен плоскости треугольника ADC. Геометрическая сумма будет направлена вдоль оси OO и равна сумме проекций всех векторов на направление этой оси, т.е. В = 4 В ₁cosa. Из рисунка следует, что cosa = , и тогда

, (7.1)

Индукция магнитного поля, создаваемого отрезком проводника, выражается формулой

, (7.2)

где I – сила тока в проводнике; r – расстояние от проводника до точки, в которой надо определить напряженность поля; b₁ и b₂ - углы, образованные направлением тока в проводнике и радиус-векторами, проведенными от концов проводника к точке А.

В нашем случае b₂ = p – b₁, следовательно, cos b₂ = – cos b₁, и выражение (7.2) приобретает вид

Подставляем выражение для В₁ в формулу (7.1):

. (7.3)

Заметим, что (a – длина стороны квадрата) и что , так как b₁ =60° как угол равностороннего треугольника. С учетом этого перепишем выражение (7.3) в окончательном виде

Подставив числовые значения, получим: В = 13,3 мкТл.

8 Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 400 В, попал в однородное магнитное поле с индукцией В = 1,5 мТл. Определить радиус кривизны траектории R и частоту n обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля.

Решение

1) Радиус кривизны траектории электрона определим, исходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца F, а действием силы тяжести можно пренебречь. Сила Лоренца перпендикулярна к вектору скорости и, следовательно, является в данном случае центростремительной силой, т. е. F = F_цс. Подставляя выражения для F и F _цс, получим

, (8.1)

где е - заряд электрона; - скорость электрона; В - индукция магнитного поля; m - масса электрона; R - радиус кривизны траектории; a – угол между направлениями вектора скорости и вектора индукции (в нашем случае и a = 90°, sin a = 1). Далее найдем:

. (8.2)

Входящий в выражение (8.2) импульс mu может быть выражен через кинетическую энергию Т электрона

. (8.3)

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством T = eU. Подставив Т в формулу (6.3), получим: . Учитывая это, выражение (6.2) для радиуса кривизны приобретает вид: