Решение рациональных, иррациональных неравенств и систем

5.1. Рациональное неравенство — это такой вид неравенства в котором левая и правая части рациональные выражения. В записи имеются только сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в целую степень.

Задача№13. Решить неравенство

На первом этапе раскрываем скобки (если они имеются) и переносим все неизвестные переменные влево, а числа вправо

Приведем подобные слагаемые слева и справа, получим

Разделим все на 4. Так как 4 положительное число, то знак неравенства не меняется. Если же мы будем умножать на число, меньше нуля, то знак неравенства необходимо менять на противоположный В нашем случае получим:

Ответ: .

Задача№14. Решить систему неравенств

; ;

Отметим оба получившихся решения на одной прямой.

В ответ записываем ту часть числовой прямой где сошлись оба решения вместе.

Ответ: .

5.2. Иррациональное неравенство — это такой вид неравенства, содержащее неизвестное под знаком корня. или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу.

Задача№15. Решить неравенство

Область допустимых значений:

Неравенство будем решать методом интервалов.

1. Вместо знака неравенства запишем знак равенства и решим полученное уравнение

Так как у нас слева корень четной степени, то здесь получается дополнительная область определения

Возведем обе части уравнения в квадрат: ;

2. Отмечаем корни на числовой прямой вместе с областью определения неравенства, расставляем знаки на полученных промежутков (проверяем выполнение на промежутке неравенства, если неравенство выполнено ставим плюс, если нет – минус).