Теоремы о равносильности систем уравнений

Системы уравнений. Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными

Напомним, что любое конечное множество уравнений называется системой уравнений.

Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки.

Общий вид системы двух уравнений с двумя переменными:

Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется пара чисел , при подстановке которых вместо соответствующих переменных оба уравнения системы обращаются в верные числовые равенства.

Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Если обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными.

Теоремы о равносильности систем уравнений.

1. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а второе уравнение заменить равносильным, то полученная система будет равносильна заданной.

2. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а второе заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

3. Если обе части уравнения ни при каких , одновременно не обращаются в нуль, то следующие системы равносильны:

Вспомним основные методы решения систем уравнений. Итак, основными методами решения систем уравнений являются метод алгебраического сложения, метод подстановки и метод введения новых переменных.

Метод алгебраического сложения. Сущность этого метода заключается в следующем:

1. обе части первого уравнения умножают на некоторый множитель, обе части второго уравнения умножают на другой множитель (если это требуется). Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами;

2. уравнения почленно складывают и решают полученное уравнение с одной переменной;

3. вторую переменную находят подстановкой найденного значения первой переменной в одно из уравнений системы.

Решите систему уравнений .

Решение.

Решите систему уравнений .

Решение.

Метод подстановки. Сущность этого метода заключается в следующем:

1) выражают из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую;

2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

3) решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Решите систему уравнений .

Решение.

Решите систему уравнений .

Решение.

Метод введения новых переменных. При сопутствующем выборе вспомогательных переменных иногда решение исходной системы можно свести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.

Решите систему уравнений .