Возьмем два выражения с переменной: 4х и 5х + 2. Соединив их знаком равенства, получим предложение 4х = 5х + 2. Оно содержит переменную и при подстановке значений переменной обращается в высказывание.
Например, при х = -2 предложение 4х = 5х + 2 обращается в истинное числовое равенство 4-(-2) = 5-(-2) + 2, а при х = 1 - в ложное 4-1 = 5-1+2. Поэтому предложение 4х = 5х + 2 есть высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной.
В общем виде уравнение с одной переменной можно определить так:
Определение. Пусть f(х) и q(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказывательная форма вида f(х) = q(х) называется уравнением с одной переменной.
Значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение - это значит найти множество его корней.
Так, корнем уравнения 4х = 5х + 2, если рассматривать его на множестве R действительных чисел, является число -2. Других корней это уравнение не имеет. Значит множество его корней есть {-2}.
|
|
Пусть на множестве действительных чисел задано уравнение (х-1)(х+2)=0. Оно имеет два корня - числа 1 и -2. Следовательно, множество корней данного уравнения таково: {-2,- 1}.
Уравнение (3х + 1) × 2 = 6х + 2, заданное на множестве действительных чисел, обращается в истинное числовое равенство при всех действительных значениях переменной х: если раскрыть скобки в левой части, то получим 6х + 2 = 6 х + 2. В этом случае говорят, что его корнем является любое действительное число, а множеством корней множество всех действительных чисел.
Уравнение (3х + 1)-2 = 6х + 1, заданное на множестве действительных чисел, не обращается в истинное числовое равенство ни при одном действительном значении х: после раскрытия скобок в левой части получаем, что 6х + 2 = 6х + 1, что невозможно ни при одном х. В этом случае говорят, что данное уравнение не имеет корней и что множество его корней пусто.
Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного данного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.
Определение. Два уравнения f1(х) = q1(х) и f2(х) = q2(х) называются равносильными, если множества их корней совпадают.
Например, уравнения х2 - 9 = 0 и (2х + 6)(х - 3) = 0 равносильны так как оба имеют своими корнями числа 3 и -3. Равносильны и уравнения (3х + 1)-2 = 6х + 1 и х2 + 1 = 0, так как оба не имеют корней, т.е. множества их корней совпадают.
|
|
Определение. Замена уравнения равносильным ему уравнением называется равносильным преобразованием.
Выясним теперь, какие преобразования позволяют получать равносильные уравнения.
Теорема 1. Пусть уравнение f(х) = q(х) задано на множестве и h(х) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнение f(х) = q(х) (1) и f(х) + h(х) = q(х) + h(х) (2) равносильны.
Доказательство. Обозначим через Т1, - множество решений уравнения (1), а через Т2 - множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т1 = Т2. Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т1 является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т2, является корнем уравнения (1).
Пусть число а - корень уравнения (1). Тогда а Î Т1, и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f(а) = q(а), а выражение h(х) обращает в числовое выражение h(а) имеющее смысл на множестве X. Прибавим к обеим частям истинного равенства f(а) = q(а) числовое выражение h(а). Получим, согласно свойствам истинных числовых равенств, истинное числовое равенство f(а) + h(а) = q(а) + h(а), которое свидетельствует о том, что число а является корнем уравнения (2).
Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. Т1 Ì Т2.
Пусть теперь а - корень уравнения (2). Тогда а Î Т2, и при подстановке в уравнение (2) обращает его в истинное числовое равенство f(а) + h(а) = q(а) + h(а). Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение - h(а). Получим истинное числовое равенство f(а) = q(а), что число а - корень уравнения (1).
Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1), т.е. Т2 Ì Т1.
Так как Т1 Ì Т2 и Т2 Ì Т1, то по определению равных множеств Т1 = Т2, а значит, уравнения (1) и (2) равносильны.
Данную теорему 1 можно сформулировать иначе: если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному.
Из этой теоремы вытекают следствия, которые используются при решении уравнений:
1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Пусть уравнение f(х) = q(х), задано на множестве Х и h(х) - выражение, которое определено на том же множестве и не обращается в нуль ни при каких значениях х из множества X. Тогда уравнения f(х) = q(х) и f(х) × h(х) = q(х) × h(х) равносильны.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.
Теорему 2 можно сформулировать иначе: если обе части уравнения с областью определения Х умножить на одно и то же выражение, которое определено на том же множестве и не обращается на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.
Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.
Решим уравнение , х Î R, и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.
Преобразования | Обоснование преобразований |
1. Приведем выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, к общему знаменателю: | Выполнили тождественное преобразование выражения в левой части уравнения. |
2. Отбросим общий знаменатель: 6 – 2х = х. | Умножим на 6 обе части уравнения (теорема 2), получили уравнение, равносильное данному. |
3. Выражение – 2х переносим в правую часть уравнения с противоположным знаком: 6=х+2х. | Воспользовались следствием из теоремы 1, получили уравнение, равносильное предыдущему и, значит, данному. |
4. Приводим подобные члены в правой части уравнения: 6=3х. | Выполнили тождественное преобразование выражения. |
5. Разделим обе части уравнения на 3:х=2. | Воспользовались следствием из теоремы 2, получили уравнение, равносильное предыдущему, а значит, и данному. |
Так как все преобразования, которые мы выполняли, решая данное уравнение, были равносильными, то можно утверждать, что 2 - корень этого уравнения.
|
|
Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1 и 2, то может произойти потеря корней или могут появиться посторонние корни. Поэтому важно, осуществляя преобразования уравнения с целью получения более простого, следить за тем, что они приводили к уравнению, равносильному данному.
Рассмотрим, например, уравнение х(х-1)=2х, х Î R. Разделим обе части на х, получим уравнение х-1=2, откуда х=3, т.е. данное уравнение имеет единственный корень - число 3. Но верно ли это? Нетрудно видеть, что если в данное уравнение вместо переменной х подставить 0, оно обратится в истинное числовое равенство 0×(0-1)=2×0. А это означает, что 0 - корень данного уравнения, который мы потеряли, выполняя преобразования. Проанализируем их. Первое, что сделали, - это разделили обе части уравнения нах, т. е. умножили выражение , но при х= 0 оно не имеет смысла. Следовательно, мы не выполнили условие теоремы 2, что и привело к потере корня.
Чтобы убедиться в том, что множество корней данного уравнения состоит из двух чисел 0 и 3, приведем другое его решение. Перенесем выражение 2 х из правой части в левую: х(х-1)-2х= 0. Вынесем в левой части уравнения за скобки х и приведем подобные члены: х(х–3)=0. Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из них равен нулю, поэтому х или х-3 = 0. Отсюда получаем, что корни данного уравнения – 0 и 3.
В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Например, решение уравнения (х×9):24=3 обосновывается следующим образом. Так как неизвестное находится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное: х× 9 =24×3, или х× 9=72.
|
|
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х=72:9, или х=8, следовательно, корнем данного уравнения является число 8.