2015-04-23
3737
При решении систем уравнений, содержащих нелинейные уравнения, основными методами решения являются метод подстановки, метод алгебраического сложения и метод введения новой переменной. Рассмотрим на примерах применение данных методов.
Пример. Решим систему: 
Решение. Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения находим 
Подставив это выражение во второе уравнение системы, имеем: 
Соответствующие значения 
находим из уравнения Если 
то 
если 
то 
Ответ. 
Пример. Решим систему уравнений: 
Решение. Неизвестные и 
на основании теоремы Виета можно принять за корни вспомогательного квадратного уравнения 
, откуда 
Так как безразлично, какое неизвестное принято за 
, какое за 
, то имеем два решения (2; 3); (3; 2).
Ответ. (2; 3), (3; 2).
Пример. Решим систему уравнений: 
Решение. Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим с первым, получим 
откуда 
Таким образом, данная система равносильна совокупности двух систем: 
Решим первую систему: 
Неизвестные и на основании теоремы 8 можно принять за корни вспомогательного квадратного уравнения 
, откуда 
Так как безразлично, какое неизвестное принято за , какое за , то имеем два решения (2; 4); (4; 2).
|
|
|
Решим вторую систему: 
Неизвестные и на основании теоремы Виета можно принять за корни вспомогательного квадратного уравнения 
, откуда 
Так как безразлично, какое неизвестное принято за , какое за , то имеем два решения (–2; –4); (–4; –2).
Таким образом, имеем четыре решения: (−4;−2), (−2;−4), (4; 2), (2; 4).
Ответ. (−4;−2), (−2;−4), (4; 2), (2; 4).
Пример. Решим систему уравнений: 
Решение. В данной системе левая часть каждого из уравнений есть симметрический многочлен относительно переменных , . Это означает, что, если в многочлене переменную заменить на , а переменную на , то многочлен не изменится. Такие системы решаются методом замены переменных. В качестве новых переменных выбирают простейшие симметрические выражения 
и 
Итак, пусть 
Тогда 
или 
Подставим полученные выражения в заданную систему: 
Решая эту систему методом подстановки, получим два решения 
Теперь остается решить совокупность двух систем: 
Решения первой системы (1; 2) и (2; 1), вторая система действительных решений не имеет.
Ответ. (1; 2); (2; 1).
При решении систем уравнений иногда удобно применять метод введения новых переменных. При этом, может вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы, либо могут вводится две новые переменные сразу для обоих уравнений.
Рассмотрим применение метода введения новых переменных для решения систем уравнений.
Пример. Решим систему уравнений: 
Решение. Решим систему способом введения новых переменных. Пусть 
, тогда 
. Следовательно, первое уравнение примет вид: 
и система уравнений будет равносильна следующей:
|
|
|
Таким образом, 
и 
.
Следовательно, 
и 
Решая каждую систему, получим соответственно пары 
и 
.
Ответ. 
Пример. Решим систему уравнений: 
Решение. Решим систему способом введения новых переменных. Пусть , тогда . Следовательно, первое уравнение примет вид: 
и система уравнений будет равносильна следующей:
Итак, первое уравнение системы распалось на два уравнения: 
и 
В соответствии с этим, получаем совокупность двух систем:
Первая система решений не имеет, а из второй получаем 
Ответ. (4; 3); (−4;−3).
Пример. Решим систему 
Решение. Из первого уравнения выразим 
Тогда заданная система уравнений эквивалентна системе:
Рассмотрим систему, состоящую из уравнений (2) и (3):
Сложим соответствующие части уравнений (4) и (5):
откуда 
Это значение подставим, к примеру, в уравнение (4).
Тогда система уравнений (4) и (5) эквивалентна системе:
Решаем уравнение (6): 
откуда 
Тогда из уравнения (7) соответственно получим 
а из уравнения (1) 
Таким образом, получаем решения: 
и 
Ответ. ;
