Тема 10 Решение системы двух уравнений с двумя переменными

Теория

Практика

Решить систему уравнений – значит найти множество её решений. Решением системы двух уравнений с двумя переменными является пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство. Системы уравнений с двумя переменными можно решать: а) графическим способом; б) способом подстановки; в) способом сложения (вычитания). Выбор способа решения зависит от уравнений, входящих в систему. Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы. Способ подстановки «хорош» при решении систем, когда одно из уравнений является уравнением первой степени. Полезно помнить алгоритм решения этим способом: 1.Из уравнения первой степени выражают одну переменную через другую. 2.Подставляют полученное выражение в уравнение второй степени 3.Решают получившееся уравнение. 4. Находят соответствующие значения второй переменной. Способом сложения лучше пользоваться в случае, когда оба уравнения системы есть уравнения второй степени.

1. Решим систему уравнений

Решение: Выразим из второго уравнения переменную x через y:

. Подставим в первое уравнение вместо x выражение

, получим уравнение с переменной y:

. После упрощения получим равносильное уравнение

. Решив его, найдем, что

. Подставив в формулу

, получим:

. Подставив в формулу

;

, получим:

.;Итак система имеет два решения:

. Ответ можно записать также в виде пар:

. Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то найти ее решения обычно бывает трудно. В отдельных случаях такие системы удается решить, используя способ подстановки или способ сложения. 2. Решим систему уравнений

Решение: Т.К.

, выразим из второго уравнения переменную y через x:

.; Подставим в первое уравнение вместо y выражение

. Получим уравнение относительно x:

. По формуле

находим y:

. Значит, система имеет два решения:

. Ответ:

. 3. Вычислите координаты точки В. Решение. Точка В является пересечением прямых

. Решив систему

, найдем, что

;

. Ответ: В (-3,4;0,4). 4. Решите систему уравнений

. Решение. Преобразуем второе уравнение системы

к виду

. Подставим в него

. Выполнив преобразования, получим систему:

. Решив эту систему, получим: (-2;6), (3;-4). Ответ: (-2;6), (3;-4). Возможна запись ответа в другом виде:

, или

. Другое возможное решение. Выразим из первого уравнения одну из переменных через другую, например,

. Подставим

во второе уравнение системы, получим уравнение

. После преобразований получим квадратное уравнение

. Найдем корни данного уравнения и соответствующие значения y, получим: (-2;6), (3;-4).

Реши сам:

1. (Демо 2010 задание 10) Окружность, изображенная на рисунке, задается уравнением . Используя этот рисунок, для каждой системы уравнений укажите соответствующее ей утверждение.

А) 1) Система имеет одно решение

Б) 2) Система имеет два решения

В) 3) Система не имеет решений

А	Б	В

Ответ:

2. Для каждой системы уравнения определите число ее решений (используйте графические соображения). В таблице под каждой буквой запишите номер соответствующего ответа.

А) 1) Нет решений