Основные операции над матрицами

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Белгородский государственный технологический университет

Им В.Г. Шухова

                                                                                                                                   

                          Утверждено    

научно-методическим советом

Университета

ЭЛЕКТРОННЫЕ ЛЕКЦИИ

ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1-ГО КУРСА

ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

ВСЕХ НАПРАВЛЕНИЙ

 

 

Белгород 2015

Глава 1. Матрицы и определители

Понятие матрицы

Прямоугольная таблица, состоящая из чисел, расположенных в m строках и n столбцах, называется матрицей. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами, например: .

Числа m и n называются порядками матрицы. Если m = n, то матрица называется квадратной порядка n, иначе – прямоугольной. Числа , входящие в состав матрицы, называются ее элементами, причем

  i  – номер строки, j – номер столбца.

Строчная матрица имеет размер , а столбцовая матрица – .

Матрица  , полученная из матрицы А заменой в ней строк на столбцы с сохранением порядка их следования, называется транспонированной. Очевидно, что .

Главная диагональ квадратной матрицы – воображаемая прямая, проходящая через элементы с одинаковыми индексами из левого верхнего в правый нижний ее угол. Эти элементы – диагональные. Побочная диагональ – прямая, идущая из правого верхнего в нижний левый угол матрицы.

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны 0, называется диагональной. Среди диагональных элементов может быть и нулевые.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, например:  – единичная матрица третьего порядка.

Основные операции над матрицами

Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все соответствующие их элементы совпадают.

Произведением матрицы А размером  на действительное число  называется матрица С размером , элементы  которой равны .

Умножение матриц на число обладает следующими свойствами: .

Суммой двух матриц А и В размером   называется матрица С размером , элементы  которой равны .

Очевидно, что сложение матриц обладает следующими свойствами:

.

Произведением  матрицы А на  матрицу В называется  матрица С, элементы  которой равны сумме произведений элементов i строки матрицы А на соответствующие элементы j столбца матрицы В: .

Произведение матриц  имеет смысл в том случае, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В. В общем случае , т. е. произведение некоммутативно.

Свойства произведения матриц:

1.  (единичная матрица Е – как 1 при умножении чисел);

2. – ассоциативно;

3. дистрибутивный закон.

Пример 1.1. . Найти , .

  .

Очевидно, что .