Правило Крамера решения СЛАУ

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными (2.1).

Введем матрицу неизвестных X :, и матрицу свободных членов В: .

Считаем, что определитель матрицы системы (2.1) . Систему (2.1) можно заменить матричным уравнением: .

Умножим матричное уравнение слева на обратную матрицу : поскольку тогда .

Используя формулу для обратной матрицы и введя обозначения: получаем формулы Крамера: .

Определитель получается из определителя системы заменой его i столбца столбцом свободных членов (если расписать определитель по i столбцу, мы получим формулу Крамера.

Например, для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными: если определитель системы , то система имеет единственное решение: .

Пример 2.1. Решить систему

Необходимо вычислить четыре определителя по формулам Крамера:

;

Тогда .

Проверкой убеждаемся в правильности вычислений.

Метод Гаусса

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными (2.1). Метод Гаусса представляет собой систематизированную схему последовательного исключения неизвестных. Пусть (иначе переставим местами уравнения). С помощью первого уравнения исключим переменную х₁ из второго и последующих уравнений. Для этого от второго уравнения отнимем первое, умноженное на , от третьего – первое, умноженное на и т.д. Получим систему уравнений с новыми коэффициентами. Пусть , тогда аналогично исключим х₂ из третьего и последующих уравнений. Для этого умножим второе уравнение на и вычтем полученный результат из третьего, из четвертого уравнения вычтем второе, умноженное на и т.д. Продолжив дальнейшее исключение неизвестных, получим систему с так называемой треугольной матрицей:

Эта процедура называется прямым ходом метода Гаусса. Далее начинаем обратный ход метода Гаусса, т.е. нахождение неизвестных. Находим из последнего уравнения, затем найденное значение подставляем в предпоследнее уравнение и определяем x_n _–1. Найденные значения и подставляем в (n – 2)-е уравнение и находим . Продолжая этот процесс, определяем остальные неизвестные системы.

Мы полагали, что . Однако, при данных преобразованиях мы можем получить уравнения вида , в котором все коэффициенты при неизвестных равны 0. При этом возможны два случая.

Если , то система имеет бесконечное количество решений. При этом одно (или несколько) уравнений являются следствием остальных.

Если , то система не имеет решений.

Как отыскивать решения системы в первом случае, будет указано в следующем пункте. При решении систем линейных уравнений методом Гаусса удобно приводить к треугольному (или ступенчатому) виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя все преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 2.2. Решить систему из примера 2.1 методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы: . В результате прямого хода матрица системы приведена к треугольному виду и найдено, что . Получим единичную матрицу, т.е. накопим нули выше главной диагонали:

. Таким образом, .

Матричные уравнения

Дана система n линейных уравнений с n неизвестными (2.1). Введём обозначения:

, , , тогда данную систему можно записать в матричном виде: . Умножим это уравнение на обратную матриц слева(считаем, что определитель матрицы системы не равен 0). Тогда: , т.к. , тогда или . Это формула для решения уравнения (2.1) с помощью обратной матрицы.