Понятие вектора. Линейные операции над векторами

Различают скалярные и векторные величины. Скалярные величины полностью характеризуются своим численным значением в выбранной системе единиц (работа, температура, плотность и т.д.). векторы кроме численного значения, обладают направлением в пространстве. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В. Вектор может обозначаться одной буквой: . Длиной (модулем) | | вектора называется число, равное длине отрезка АВ.

Векторы, лежащие на одной прямой (или на параллельных прямых) называются коллинеарными. Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называют нулевым и обозначают . | | = 0, направление произвольно. Если = , то вектор называют противоположным к вектору и обозначают – . Очевидно, что .

Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат и перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Координатами вектора будем называть координаты его конечной точки: .

Модуль вектора : .

Линейные операции над векторами.

Пусть заданы векторы и Линейными операциями называют сложение (вычитание) векторов и умножение вектора на скаляр. Сложение векторов производят по правилу параллелограмма:

, . Чтобы построить сумму векторов , нужно к концу вектора приложить вектор, к концу вектора приложить вектор и так далее до . Тогда суммой будет вектор, идущий из начала в конец вектора .

Вычесть какой-нибудь вектор – значит прибавить противоположный, т.е. .

Умножение вектора на (скаляр) число : , .

Если , то полученный вектор – это вектор, получающийся из растяжением в раз без изменения направления. Если , тогда следует растянуть в раз и изменить направление на противоположное.