Основные свойства определителей

Свойства определителей рассмотрим на примере определителей третьего порядка, хотя все свойства справедливы для определителей любого порядка.

1. При транспонировании определителя величина определителя не меняется, т.е. . Напомним, что транспонирование – замена его строк столбцами. Для доказательства следует расписать определители в правой и левой частях равенства: . Значит, строки и столбцы в определителе равноправны и если выполняются некоторые свойства для столбцов, то такое же свойство существует и для строк.

2. Если в определителе поменять местами какие-нибудь две строки, то определитель сохраняет свою абсолютную величину, но изменит знак на противоположный.

Например, . Это также доказывается проверкой.

3. Если определитель имеет две одинаковые строки, то он равен нулю.

 Пусть | А | = . Если переставить 2 и 3 строчки, то по свойству «2» получим –| А |, то есть | А | = – | А |, отсюда | А | = 0.

4. Общий множитель, содержащийся во всех элементах строки, можно вынести за знак определителя.

Например, . Это также доказывается проверкой.

5. Определитель, имеющий нулевую строку (все элементы которой равны нулю), равен нулю.

 Для доказательство: в п.4 положим =0.

6. Если все элементы какой-либо строки состоят из двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых элементами этой строки являются первые слагаемые, во втором – вторые, а остальные элементы такие же, как и в данном определителе:

.

Это также доказывается проверкой.

7. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.

т. к. второй определитель равен нулю.

Следствие: определитель равен нулю, если элементы каких-либо двух его строк пропорциональны.

Свойство 7 можно обобщить: если элементы какого-либо столбца определителя является линейной комбинацией других его столбцов, то определитель равен нулю. Если столбцы определителя линейно зависимы, то определитель равен нулю.