Непрерывность функции в точке и на промежутке

Функция называется непрерывной в точке x ₀, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. Функция определена в точке .

2. Функция имеет конечный предел прии этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Функция f (x) называется непрерывной в точке x ₀, если при ∆х→0 и ∆у→0, то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

В противном случае х ₀ – точка разрыва.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторого интервала, называется непрерывной в этом интервале.

Свойства непрерывной функции

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке и достигает на этом отрезке наибольшего значения М и наименьшего значения m.

2. Если f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и на концах принимают значение разных знаков, то имеется a<c<b, для которой f (c)=0.

Классификация точек разрыва

Точка х называется точкой разрыва функции f (x), если f (x) в точке х ₀ не является непрерывной.

Точки разрыва можно разделить на два типа:

1. Разрыв 1 рода. Если функция f (x) имеет в точке х ₀ конечные пределы слева и справа, не равные между собой, то в точке будет разрыв первого рода, т.е. , , но .

2. Разрыв 2 рода. В точке нет одного из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

– точка разрыва 2 –го рода.

Глава 7. Производная и дифференциал

Физический и геометрический смысл производной

Геометрический смысл

– тангенс угла наклона секущей.

, если , то секущая переходит в касательную: . Производная равна угловому коэффициенту касательной.

Физический смысл

Пусть - закон движения математической точки, т.е. зависимость пути y от времени t. За время t пройден путь , а за .

Отношение – средняя скорость движения; мгновенная скорость .

В общем, для любой функции – средняя скорость изменения y относительно изменения x, – мгновенная скорость изменения y при некотором x. С помощью производной можно оценить скорость изменения связанных величин.