Бесконечно большие величины

Функция при , то есть является бесконечно большой величиной при , если для каждого , как бы велико оно не было, можно найти такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству имеет место . Запись: .

Свойства:

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Замечание 1. Если и – бесконечно большие величины при , то – неопределенность . – неопределенность .

Теорема. Если – бесконечно малая при , то величина – бесконечно большая при и наоборот.

Основные теоремы о пределах

1. Предел алгебраической суммы конечного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных.

2. Предел произведения конечного числа переменных равен произведению пределов этих переменных.

Следствие.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел делителя отличен от нуля, , если .

4. Если , , то предел сложной функции .

5. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) , то .

6. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел А при ,то функция имеет тот же предел.