Производная показательной, логарифмической и степенной функций

Производная показательной функции

а) .

  Прологарифмируем обе части равенства по основанию , получим   Дифференцируя обе части по переменной   и учитывая, что  – сложная функция, получим или , откуда ,т.е. и .

Заметим, что кривая , называемая экспонентой, обладает отличающим только ее свойством: в каждой точке х ордината кривой равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к кривой в этой точке: .

б) .   и по правилу дифференцирования сложной функции .

Итак,   и .

в) ; . .

г) Производная степенной функции

Теперь мы можем доказать формулу производной степенной функции длялюбого . Действительно, . Дифференцируя обе части равенства, получим ,откуда ,  и .

Таблица производных

№ п/п	Функция y	Производная	№ п/п	Функция у	Производная
1			14
2			15
3			16
4			17
5			18
6			19
7			20
8			21
9			22
10			23
11			24
12			25
13

Логарифмическая производная.

Производная неявной и параметрической функции

Логарифмическая производная

Производная степенно-показательной функции

. Найдем .Дифференцируя, получим

.

Учитывая, что , получим после преобразований

.

Замечание. Производная логарифмической функции

 называется логарифмической производной. Ее удобно использовать для нахождения производных функций, выражения которых существенно упрощаются при логарифмировании.

Пример 1. Вычислить .

.

Пример 2. .

Логарифмируем:

П роизводная неявной функции.

Если задана неявная функция , то для вычисления производной надо взять производные от правой и левой частей, помня, что .

Например, .

.

Параметрическое задание функции

Пусть даны два уравнения .

Каждому значению t соответствует x и y на плоскости. Если , то эта точка описывает кривую на плоскости – кривая задана параметрически,  – параметр. , то .

Такое задание определяет ,  от  задается параметрически. Используется в механике.

Производная. Ищем производную сложной функции:

 производная обратной функции.

Пример. .

Дифференциал функции

Пусть  и аргумент   получил приращение . Тогда дифференциалом называется величина , но , поэтому  отношение дифференциалов.

Вычисление дифференциала функции называется ее дифференцированием, при этом вычисляется производная, поэтому процесс вычисления производной часто называется дифференцированием.

Дифференциал – главная линейная часть приращения функции.

Функция, обладающая дифференциалом, называется дифференцируемой.

У дифференцируемой функции производная должна быть конечной.

Свойства дифференциала

1. ;

2. ;

3. .

Найдем выражение для дифференциала сложной функции: , где . По правилу дифференцирования сложной функции: , то есть  инвариантность дифференциала – дифференциал сложной функции имеет такой же вид, как и для простой переменной.

Дифференциал широко применяется в приближенных вычислениях.

Дифференциал , если .